Fymm IIb luentojen betaversio

40
Määritelmä 4.5 Kuvaus ϕ on rajoitettu jos on olemassa M > 0 s.e.
|ϕ(u)| ≤ M ‖u‖ ∀ u ∈ V (4.28)
Lause 4.3 Olkoon V Banach avaruus. Lineaarinen funktionaali ϕ : V → C on jatkuva jos ja vain jos
se on rajoitettu.
Todistus 4.3 ”⇒”. Koska ϕ on jatkuva, se on jatkuva erityisesti origossa. On siis olemassa δ s.e.
|ϕ(u)| < 1, kun ‖u‖ < δ. Olkoon ¯0 ≠ u ∈ V ja δ kuten edellä, jolloin
( )∣ |ϕ(u)| =
2 ‖u‖ δu ∣∣∣
∣ ϕ < 2 ‖u‖ · 1,
δ 2 ‖u‖ δ
sillä
∥ ∥∥∥ δu
2 ‖u‖ ∥ = δ 2 < δ.
M:ksi voidaan siis valita esimerksi 2/δ.
”⇐”. Olkoon ɛ > 0. Jos |ϕ(u)| ≤ M ‖u‖ ∀u ∈ V , niin
joten ϕ on jatkuva.
‖u − v‖ < ɛ M ⇒ |ϕ(u) − ϕ(v)| = |ϕ(u − v)| ≤ M ‖u − v‖ < M · ɛ
M = ɛ,
Esimerkki 4.7 V = l 1 eli jonot (x 1 , x 2 , . . .), joille
‖x‖ =
∞∑
|x k | < ∞. (4.29)
Olkoon c = (c 1 , c 2 , . . .) jono kompleksilukuja ja ϕ c : l 1 → C määritelty kaavalla
k=1
ϕ c (x) =
∞∑
c k x k . (4.30)
ϕ c on selvästi lineaarinen. Jos |c k | < K kaikilla i, niin ϕ c on rajoitettu, sillä
|ϕ c (x)| ≤
k=1
k=1
∞∑
∞∑
|c k x k | ≤ K |x k | = K ‖x‖ .
ϕ on siis jatkuva jos c on rajoitettu. Osoitetaan vielä, että muussa tapauksessa ϕ c ei ole jatkuva. Jos
|c i | ei ole ylhäältä rajoitettu on olemassa osajono (c ij ) ∞ j=1 s.e. |c i j
| → ∞, kun i j → ∞. Käytetään
jatkuvuuden jonomääritelmää, ja muodostetaan jono (x (j) ) ⊂ l 1 , missä
Nyt ∥ ∥x (j)∥ ∥ = 1/|c ij | → 0, koska |c ij | → ∞, mutta
k=1
x (j) = (0, 0, . . . , 0, 1/c ij , 0 . . .).
} {{ }
i j :s
ϕ c (x (j) ) =
∞∑
i=1
c i x (j)
i
= c ij · 1/c ij = 1
kaikilla i, mikä on ristiriita, sillä jatkuvuuden nojalla pitäisi ϕ(x (j) ) → 0 = ϕ x (¯0), koska x (j) → ¯0.