Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
40<br />
Määritelmä 4.5 Kuvaus ϕ on rajoitettu jos on olemassa M > 0 s.e.<br />
|ϕ(u)| ≤ M ‖u‖ ∀ u ∈ V (4.28)<br />
Lause 4.3 Olkoon V Banach avaruus. Lineaarinen funktionaali ϕ : V → C on jatkuva jos ja vain jos<br />
se on rajoitettu.<br />
Todistus 4.3 ”⇒”. Koska ϕ on jatkuva, se on jatkuva erityisesti origossa. On siis olemassa δ s.e.<br />
|ϕ(u)| < 1, kun ‖u‖ < δ. Olkoon ¯0 ≠ u ∈ V ja δ kuten edellä, jolloin<br />
( )∣ |ϕ(u)| =<br />
2 ‖u‖ δu ∣∣∣<br />
∣ ϕ < 2 ‖u‖ · 1,<br />
δ 2 ‖u‖ δ<br />
sillä<br />
∥ ∥∥∥ δu<br />
2 ‖u‖ ∥ = δ 2 < δ.<br />
M:ksi voidaan siis valita esimerksi 2/δ.<br />
”⇐”. Olkoon ɛ > 0. Jos |ϕ(u)| ≤ M ‖u‖ ∀u ∈ V , niin<br />
joten ϕ on jatkuva.<br />
‖u − v‖ < ɛ M ⇒ |ϕ(u) − ϕ(v)| = |ϕ(u − v)| ≤ M ‖u − v‖ < M · ɛ<br />
M = ɛ,<br />
Esimerkki 4.7 V = l 1 eli jonot (x 1 , x 2 , . . .), joille<br />
‖x‖ =<br />
∞∑<br />
|x k | < ∞. (4.29)<br />
Olkoon c = (c 1 , c 2 , . . .) jono kompleksilukuja ja ϕ c : l 1 → C määritelty kaavalla<br />
k=1<br />
ϕ c (x) =<br />
∞∑<br />
c k x k . (4.30)<br />
ϕ c on selvästi lineaarinen. Jos |c k | < K kaikilla i, niin ϕ c on rajoitettu, sillä<br />
|ϕ c (x)| ≤<br />
k=1<br />
k=1<br />
∞∑<br />
∞∑<br />
|c k x k | ≤ K |x k | = K ‖x‖ .<br />
ϕ on siis jatkuva jos c on rajoitettu. Osoitetaan vielä, että muussa tapauksessa ϕ c ei ole jatkuva. Jos<br />
|c i | ei ole ylhäältä rajoitettu on olemassa osajono (c ij ) ∞ j=1 s.e. |c i j<br />
| → ∞, kun i j → ∞. Käytetään<br />
jatkuvuuden jonomääritelmää, ja muodostetaan jono (x (j) ) ⊂ l 1 , missä<br />
Nyt ∥ ∥x (j)∥ ∥ = 1/|c ij | → 0, koska |c ij | → ∞, mutta<br />
k=1<br />
x (j) = (0, 0, . . . , 0, 1/c ij , 0 . . .).<br />
} {{ }<br />
i j :s<br />
ϕ c (x (j) ) =<br />
∞∑<br />
i=1<br />
c i x (j)<br />
i<br />
= c ij · 1/c ij = 1<br />
kaikilla i, mikä on ristiriita, sillä jatkuvuuden nojalla pitäisi ϕ(x (j) ) → 0 = ϕ x (¯0), koska x (j) → ¯0.