Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
38<br />
eli P 2 L = P L. Määritellään sitten ¯v ⊥ = ¯v − ¯v L , ”¯v:n L:ää vastaan kohtisuora komponentti”, jolle<br />
Lisäksi, jos ū ∈ L, niin ū = ∑ n<br />
j=1 u jē j ja<br />
P L¯v ⊥ = P L¯v − P L¯v L = ¯v L − ¯v L = ¯0.<br />
〈¯v ⊥ |ū〉 =<br />
=<br />
n∑<br />
u i 〈¯v ⊥ |ē i 〉<br />
i=1<br />
n∑<br />
u i<br />
(〈¯v|ē i 〉 −<br />
i=1<br />
= 0,<br />
eli ¯v ⊥ on kohtisuorassa jokaista ū ∈ L kohtaan, erityisesti<br />
Lisäksi tästä seuraa<br />
eli (Besselin epäyhtälö)<br />
)<br />
n∑<br />
〈ē k |¯v〉 ∗ δ kj<br />
k=1<br />
〈¯v ⊥ |¯v L 〉 = 0. (4.21)<br />
‖¯v‖ 2 = ‖¯v ⊥ + ¯v L ‖ 2 = ‖¯v L ‖ 2 + ‖¯v ⊥ ‖ 2 ≥ ‖¯v L ‖ 2<br />
‖¯v‖ 2 ≥<br />
n∑<br />
|〈ē i |¯v〉| 2 . (4.22)<br />
i=1<br />
Otetaan ilman todistusta käyttöön tulos: Separoituvalla 6 Hilbertin avaruudella H on numeroituva<br />
kanta, joka voidaan olettaa ortonormaaliksi. Tällöin jokainen ¯v ∈ H voidaan lausua muodossa<br />
¯v = ∑ k<br />
v k ē k . (4.23)<br />
Nyt<br />
〈ē j |¯v〉 = ∑ k<br />
v k 〈ē j |ē k 〉 = v j<br />
eli<br />
¯v = ∑ k<br />
〈ē k |¯v〉ē k . (4.24)<br />
Lisäksi<br />
‖¯v‖ 2 = ∑ k,l<br />
v ∗ k v l〈ē k |ē l 〉 = ∑ k<br />
|v k | 2<br />
eli<br />
‖¯v‖ 2 = ∑ k<br />
|〈ē k |¯v〉| 2 , (4.25)<br />
joka tunnetaan Parsevalin kaavana.<br />
Huom. Esimerkiksi l 2 , L 2 , C n ja R n ovat separoituvia.<br />
Huom. Erikoistapauksena saamme Parsevalin kaavan Fourier-sarjoille (vrt. FyMM Ib).<br />
6 Avaruus on separoituva jos siihen sisältyy numeroituva tiheä joukko. Esim. R on separoituva, sillä Q on tiheä ja<br />
numeroituva.