Fymm IIb luentojen betaversio

38
eli P 2 L = P L. Määritellään sitten ¯v ⊥ = ¯v − ¯v L , ”¯v:n L:ää vastaan kohtisuora komponentti”, jolle
Lisäksi, jos ū ∈ L, niin ū = ∑ n
j=1 u jē j ja
P L¯v ⊥ = P L¯v − P L¯v L = ¯v L − ¯v L = ¯0.
〈¯v ⊥ |ū〉 =
=
n∑
u i 〈¯v ⊥ |ē i 〉
i=1
n∑
u i
(〈¯v|ē i 〉 −
i=1
= 0,
eli ¯v ⊥ on kohtisuorassa jokaista ū ∈ L kohtaan, erityisesti
Lisäksi tästä seuraa
eli (Besselin epäyhtälö)
)
n∑
〈ē k |¯v〉 ∗ δ kj
k=1
〈¯v ⊥ |¯v L 〉 = 0. (4.21)
‖¯v‖ 2 = ‖¯v ⊥ + ¯v L ‖ 2 = ‖¯v L ‖ 2 + ‖¯v ⊥ ‖ 2 ≥ ‖¯v L ‖ 2
‖¯v‖ 2 ≥
n∑
|〈ē i |¯v〉| 2 . (4.22)
i=1
Otetaan ilman todistusta käyttöön tulos: Separoituvalla 6 Hilbertin avaruudella H on numeroituva
kanta, joka voidaan olettaa ortonormaaliksi. Tällöin jokainen ¯v ∈ H voidaan lausua muodossa
¯v = ∑ k
v k ē k . (4.23)
Nyt
〈ē j |¯v〉 = ∑ k
v k 〈ē j |ē k 〉 = v j
eli
¯v = ∑ k
〈ē k |¯v〉ē k . (4.24)
Lisäksi
‖¯v‖ 2 = ∑ k,l
v ∗ k v l〈ē k |ē l 〉 = ∑ k
|v k | 2
eli
‖¯v‖ 2 = ∑ k
|〈ē k |¯v〉| 2 , (4.25)
joka tunnetaan Parsevalin kaavana.
Huom. Esimerkiksi l 2 , L 2 , C n ja R n ovat separoituvia.
Huom. Erikoistapauksena saamme Parsevalin kaavan Fourier-sarjoille (vrt. FyMM Ib).
6 Avaruus on separoituva jos siihen sisältyy numeroituva tiheä joukko. Esim. R on separoituva, sillä Q on tiheä ja
numeroituva.