Fymm IIb luentojen betaversio

30
Oletamme jatkossa, että reunaehdot ovat voimassa 4 .
Funktiot u k , jotka stationarisoivat J S−L [y]:n ovat siis S-L ongelman ominaisfunktiot, eli toteuttavat
− d (
p(x) du )
k(x)
+ q(x)u k (x) = λ k w(x)u k (x) ja
dx dx
∫ b
a
dxw(x)u m (x)u n (x) = δ nm .
Ominaisfunktiot muodostavat täydellisen funktiojoukon, joten voidaan kehittää
y(x) = ∑ k
=⇒ J[y] = ∑ k,l
= ∑ k
a k u k (x)
∫ b
a k λ l a l dxw(x)u k (x)u l (x)
a
λ k a 2 k (3.61)
ja
K[y] = ∑ k
a 2 k = 1 (3.62)
Olkoon λ 0 pienin ominaisarvo (λ k ≥ λ 0 kaikilla k). Jos λ 0 ei ole degeneroitunut J[y] saavuttaa globaalin
miniminsä λ 0 , kun y(x) = u 0 (x) (a 2 0 = 1)5 . Voidaan siis kirjoittaa
λ 0 = inf u∈D(L)
J[u]
K[u] ,
missä D(u) on joukko funktioita joille vastaava S-L operaattori L on hyvin määritelty. Huom! funktioluokan
yleien alkio u ei ole ominaisfunktio, joten K[u] ≠ 1 yleensä. Pienintä ominaisarvoa voidaan yrittää
etsiä rajoittumalla sopiviin yritefunktiohin u(α 1 , . . . , α p ) jotka riippuvat parametreista α 1 , . . . , α p
ja jotka toteuttavat vaaditut reunaehdot, ja varioimalla parametrejä. Tätä likiarvomenetelmää kutsutaan
Rayleighin ja Ritzin menetelmäksi. Samantapaista menetelmää käytetään kvanttimekaniikassa
Hamilton-operaattorin pienimmän ominaiarvon (eli systeemin perustilan energian) etsintään.
3.6 Rayleighin ja Ritzin menetelmä
Etsitään pienimmälle ominaisarvolle λ 0 likiarvoa aloittamalla parametreista (α 1 , . . . , α p ) riippuvasta
yritteestä u(α 1 , . . . , α p ). Lasketaan ensin
J[u(α 1 , . . . , α p )] = F (α 1 , . . . , α p )
K[u(α 1 , . . . , α p )] = G(α 1 , . . . , α p )
, sekä
ja minimoidaan tämän jälkeen F (α 1 , . . . , α p ) ehdolla G(α 1 , . . . , α p ) = 1. Otetaan käyttöön Lagrangen
kerroin λ. Eulerin yhtälöt ovat:
Ratkaisu antaa ylärajan miniarvolle.
∂
∂a j
(F (α 1 , . . . , α p ) + λG(α 1 , . . . , α p )) = 0 (3.63)
G(α 1 , . . . , α p ) − 1 = 0 (3.64)
4 Periaatteessa pintatermi voitaisiin hävitää myös ehdolla p(a)y(a)y ′ (a) − p(b)y(b)y ′ (b) = 0. Tämän ehdon ongelma
on se että se on oleellisesti periodinen reunaehto, jonka ominaisarvot saattavat olla degeneroituneita kuten yllä näimme.
S-L ongelmassahan asetettiin reunaehdot erikseen päätepisteissä x = a, b, joten siksi teemme samantapaisen rajoituksen
variaatio-ongelman reunaehtoihin.
5 Jos λ 0 olisi deneroitunut ja sitä vastaa ominaisfunktiot u (1)
0 , u(2) 0 , . . . , u(N) 0 , niin mikä tahansa näiden lineaarikombinaatio
minimoi J:n.