Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
30<br />
Oletamme jatkossa, että reunaehdot ovat voimassa 4 .<br />
Funktiot u k , jotka stationarisoivat J S−L [y]:n ovat siis S-L ongelman ominaisfunktiot, eli toteuttavat<br />
− d (<br />
p(x) du )<br />
k(x)<br />
+ q(x)u k (x) = λ k w(x)u k (x) ja<br />
dx dx<br />
∫ b<br />
a<br />
dxw(x)u m (x)u n (x) = δ nm .<br />
Ominaisfunktiot muodostavat täydellisen funktiojoukon, joten voidaan kehittää<br />
y(x) = ∑ k<br />
=⇒ J[y] = ∑ k,l<br />
= ∑ k<br />
a k u k (x)<br />
∫ b<br />
a k λ l a l dxw(x)u k (x)u l (x)<br />
a<br />
λ k a 2 k (3.61)<br />
ja<br />
K[y] = ∑ k<br />
a 2 k = 1 (3.62)<br />
Olkoon λ 0 pienin ominaisarvo (λ k ≥ λ 0 kaikilla k). Jos λ 0 ei ole degeneroitunut J[y] saavuttaa globaalin<br />
miniminsä λ 0 , kun y(x) = u 0 (x) (a 2 0 = 1)5 . Voidaan siis kirjoittaa<br />
λ 0 = inf u∈D(L)<br />
J[u]<br />
K[u] ,<br />
missä D(u) on joukko funktioita joille vastaava S-L operaattori L on hyvin määritelty. Huom! funktioluokan<br />
yleien alkio u ei ole ominaisfunktio, joten K[u] ≠ 1 yleensä. Pienintä ominaisarvoa voidaan yrittää<br />
etsiä rajoittumalla sopiviin yritefunktiohin u(α 1 , . . . , α p ) jotka riippuvat parametreista α 1 , . . . , α p<br />
ja jotka toteuttavat vaaditut reunaehdot, ja varioimalla parametrejä. Tätä likiarvomenetelmää kutsutaan<br />
Rayleighin ja Ritzin menetelmäksi. Samantapaista menetelmää käytetään kvanttimekaniikassa<br />
Hamilton-operaattorin pienimmän ominaiarvon (eli systeemin perustilan energian) etsintään.<br />
3.6 Rayleighin ja Ritzin menetelmä<br />
Etsitään pienimmälle ominaisarvolle λ 0 likiarvoa aloittamalla parametreista (α 1 , . . . , α p ) riippuvasta<br />
yritteestä u(α 1 , . . . , α p ). Lasketaan ensin<br />
J[u(α 1 , . . . , α p )] = F (α 1 , . . . , α p )<br />
K[u(α 1 , . . . , α p )] = G(α 1 , . . . , α p )<br />
, sekä<br />
ja minimoidaan tämän jälkeen F (α 1 , . . . , α p ) ehdolla G(α 1 , . . . , α p ) = 1. Otetaan käyttöön Lagrangen<br />
kerroin λ. Eulerin yhtälöt ovat:<br />
Ratkaisu antaa ylärajan miniarvolle.<br />
∂<br />
∂a j<br />
(F (α 1 , . . . , α p ) + λG(α 1 , . . . , α p )) = 0 (3.63)<br />
G(α 1 , . . . , α p ) − 1 = 0 (3.64)<br />
4 Periaatteessa pintatermi voitaisiin hävitää myös ehdolla p(a)y(a)y ′ (a) − p(b)y(b)y ′ (b) = 0. Tämän ehdon ongelma<br />
on se että se on oleellisesti periodinen reunaehto, jonka ominaisarvot saattavat olla degeneroituneita kuten yllä näimme.<br />
S-L ongelmassahan asetettiin reunaehdot erikseen päätepisteissä x = a, b, joten siksi teemme samantapaisen rajoituksen<br />
variaatio-ongelman reunaehtoihin.<br />
5 Jos λ 0 olisi deneroitunut ja sitä vastaa ominaisfunktiot u (1)<br />
0 , u(2) 0 , . . . , u(N) 0 , niin mikä tahansa näiden lineaarikombinaatio<br />
minimoi J:n.