Fymm IIb luentojen betaversio

28
Muistetaan ensin että myös L x :n ominaisfunktiot ϕ k (x),
L x ϕ k (x) = λw(x)ϕ k (x) (3.48)
toteuttavat nämä reunaehdot.
Arvataan että oikea Greenin funktio on muotoa
G(x, y) = ∑ k
1 ϕ k (x)ϕ k (y)
λ k (ϕ k , ϕ k )
. (3.49)
Yksi perustelu tälle arvaukselle löytyy luentokalvoista. Tässä tyydymme vain tarkistamaan että arvaus
on OK. Ensin joitakin kommentteja:
1. Kaavassa (3.49) summataan yli kaikkien ominaisfunktioiden ja -arvojen.
2. (3.49) on hyvin määritelty vain jos kaikki ominaisarvot λ k ≠ 0.
3. Normitustekijä (ϕ k , ϕ k ) = ∫ dx w(x)ϕ ∗ k (x)ϕ k(x) sisällytetään kaavaan jos ϕ k ei ole vielä normitettu
siten että (ϕ k , ϕ k ) = 1.
Nyt sitten tarkistus:
L x G(x, y) = ∑ k
= w(x) ∑ k
1 (L x ϕ k (x))ϕ k (y)
λ k (ϕ k , ϕ k )
ϕ k (x)ϕ k (y)
(ϕ k , ϕ k )
= δ(x − y) , (3.50)
siis (3.49) totetuttaa ehdon (3.43). Edelleen, koska ominaisfunktiot ϕ k toteuttavat S-L reunaehdot
(3.46), seuraa helposti
A 1 G(a, y) + A 2 ∂ x G(a, y) = 0 (3.51)
B 1 G(b, y) + B 2 ∂ x G(b, y) = 0 . (3.52)
Siispä erikoisratkaisu u E (x) = ∫ dy G(x, y)f(y) toteuttaa myös S-L reunaehdot. Esim:
∫
A 1 u E (a) + A 2 u ′ E(a) = dy (A 1 G(a, y) + A 2 ∂ x G(a, y))f(y) = 0 . (3.53)
Mitä sitten tapahtuu jos jokin ominaisarvoista häviää, λ k = 0? (Käytetään vastaavasta ominaisfunktiosta
merkintää ϕ 0 ja ominaisarvosta merkintää λ 0 . Näistä käytetään usein nimitystä nollamoodi (engl.
zero mode.) Huomaa että S-L teoriassa on korkeintaan yksi nollamoodi, sillä S-L reunaehdoilla ominaisarvot
ja -funktiot eivät ole degeneroituneita.) Kokeillaan onnistuisiko yksinkertainen muokkaus, eli
kävisikö
Ḡ(x, y) = ∑ 1 (L x ϕ k (x))ϕ k (y)
(3.54)
λ k (ϕ k , ϕ k )
λ k ≠0
Greenin funktioksi. (Summaan sisältyvät siis kaikki ominaismoodit paitsi nollamoodi.) Kokeillaan toteuttaako
u(x) = ∫ dy Ḡ(x, y)f(y) epähomogeenisen yhtälön:
∫
L x u(x) = = dy L x Ḡ(x, y)f(y) = ∑ ∫
1
dy (L xϕ k (x))ϕ k (y)
f(y)
λ k (ϕ k , ϕ k )
λ k ≠0
= w(x) ∑ ∫
dy ϕ ∫
∫
k(x)ϕ k (y)
f(y) = dy δ(x − y)f(y) − dy w(x)ϕ 0(x)ϕ 0 (y)
f(y)
(ϕ k , ϕ k )
(ϕ 0 , ϕ 0 )
λ k ≠0
= f(x) − w(x)ϕ 0(x)
(ϕ 0 , ϕ 0 ) 〈ϕ 0|f〉 , (3.55)