Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
28<br />
Muistetaan ensin että myös L x :n ominaisfunktiot ϕ k (x),<br />
L x ϕ k (x) = λw(x)ϕ k (x) (3.48)<br />
toteuttavat nämä reunaehdot.<br />
Arvataan että oikea Greenin funktio on muotoa<br />
G(x, y) = ∑ k<br />
1 ϕ k (x)ϕ k (y)<br />
λ k (ϕ k , ϕ k )<br />
. (3.49)<br />
Yksi perustelu tälle arvaukselle löytyy luentokalvoista. Tässä tyydymme vain tarkistamaan että arvaus<br />
on OK. Ensin joitakin kommentteja:<br />
1. Kaavassa (3.49) summataan yli kaikkien ominaisfunktioiden ja -arvojen.<br />
2. (3.49) on hyvin määritelty vain jos kaikki ominaisarvot λ k ≠ 0.<br />
3. Normitustekijä (ϕ k , ϕ k ) = ∫ dx w(x)ϕ ∗ k (x)ϕ k(x) sisällytetään kaavaan jos ϕ k ei ole vielä normitettu<br />
siten että (ϕ k , ϕ k ) = 1.<br />
Nyt sitten tarkistus:<br />
L x G(x, y) = ∑ k<br />
= w(x) ∑ k<br />
1 (L x ϕ k (x))ϕ k (y)<br />
λ k (ϕ k , ϕ k )<br />
ϕ k (x)ϕ k (y)<br />
(ϕ k , ϕ k )<br />
= δ(x − y) , (3.50)<br />
siis (3.49) totetuttaa ehdon (3.43). Edelleen, koska ominaisfunktiot ϕ k toteuttavat S-L reunaehdot<br />
(3.46), seuraa helposti<br />
A 1 G(a, y) + A 2 ∂ x G(a, y) = 0 (3.51)<br />
B 1 G(b, y) + B 2 ∂ x G(b, y) = 0 . (3.52)<br />
Siispä erikoisratkaisu u E (x) = ∫ dy G(x, y)f(y) toteuttaa myös S-L reunaehdot. Esim:<br />
∫<br />
A 1 u E (a) + A 2 u ′ E(a) = dy (A 1 G(a, y) + A 2 ∂ x G(a, y))f(y) = 0 . (3.53)<br />
Mitä sitten tapahtuu jos jokin ominaisarvoista häviää, λ k = 0? (Käytetään vastaavasta ominaisfunktiosta<br />
merkintää ϕ 0 ja ominaisarvosta merkintää λ 0 . Näistä käytetään usein nimitystä nollamoodi (engl.<br />
zero mode.) Huomaa että S-L teoriassa on korkeintaan yksi nollamoodi, sillä S-L reunaehdoilla ominaisarvot<br />
ja -funktiot eivät ole degeneroituneita.) Kokeillaan onnistuisiko yksinkertainen muokkaus, eli<br />
kävisikö<br />
Ḡ(x, y) = ∑ 1 (L x ϕ k (x))ϕ k (y)<br />
(3.54)<br />
λ k (ϕ k , ϕ k )<br />
λ k ≠0<br />
Greenin funktioksi. (Summaan sisältyvät siis kaikki ominaismoodit paitsi nollamoodi.) Kokeillaan toteuttaako<br />
u(x) = ∫ dy Ḡ(x, y)f(y) epähomogeenisen yhtälön:<br />
∫<br />
L x u(x) = = dy L x Ḡ(x, y)f(y) = ∑ ∫<br />
1<br />
dy (L xϕ k (x))ϕ k (y)<br />
f(y)<br />
λ k (ϕ k , ϕ k )<br />
λ k ≠0<br />
= w(x) ∑ ∫<br />
dy ϕ ∫<br />
∫<br />
k(x)ϕ k (y)<br />
f(y) = dy δ(x − y)f(y) − dy w(x)ϕ 0(x)ϕ 0 (y)<br />
f(y)<br />
(ϕ k , ϕ k )<br />
(ϕ 0 , ϕ 0 )<br />
λ k ≠0<br />
= f(x) − w(x)ϕ 0(x)<br />
(ϕ 0 , ϕ 0 ) 〈ϕ 0|f〉 , (3.55)