Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
26<br />
Yleinen ratkaisu on siis u(x) = 1 √ x<br />
(C 1 + C 2 ln(x)). Lisäksi reunaehto<br />
u(1) = C 1<br />
√<br />
1<br />
= 0 ⇒ C 1 = 0,<br />
eli<br />
u(x) = Cln(x)/ √ x , joten |u(x)| −→ ∞ , kun x → 0.<br />
Yhtälöllä ei siis ole ominaisarvoja eikä -funktioita.<br />
Kuitenkin koska L on itseadjungoitu, aina pätee: Jos ominaisarvo on olemassa, se on reaalinen ja<br />
erisuuria ominaisarvoja vastaavat ominaisfunktioit ovat ortogonaalisia.<br />
Esimerkki 3.4 Periodiset reunaehdot.<br />
Tutkitaan yhtälöä<br />
välillä x ∈ [0, π], reunaehdoilla<br />
d 2 u<br />
+ λu = 0 (3.32)<br />
dx2 u(0) = u(π) (3.33)<br />
u ′ (0) = u ′ (π). (3.34)<br />
Merk. α = √ −λ, jolloin yleinen ratkaisu on u(x) = C 1 e αx + C 2 e −αx . Reunaehdot:<br />
(3.33) =⇒ C 1 + C 2 = C 1 e απ + C 2 e −απ<br />
(3.34) =⇒ α(C 1 − C 2 ) = α(C 1 e απ − C 2 e −απ )<br />
α = 0 kelpaa ja tätä vastaava ominaisfunktio on u ≡ C = vakio. Oletetaan sitten, että α ≠ 0 ja jaetaan<br />
se pois toisesta reunaehdosta:<br />
(3.33) =⇒ C 1 (1 − e απ ) + C 2<br />
(<br />
1 − e<br />
−απ ) = 0<br />
(3.34) =⇒ C 1 (1 − e απ ) − C 2<br />
(<br />
1 − e<br />
−απ ) = 0<br />
Jotta olisi nollasta eroava ((C 1 , C 2 ) ≠ ¯0) ratkaisu, ryhmän determinantin on oltava nolla, eli<br />
−2 (1 − e απ ) ( 1 − e −απ) = 0<br />
⇐⇒ e ±απ = 1<br />
⇐⇒ απ = 2nπi<br />
n ∈ Z<br />
=⇒ λ n = −α 2 n = 4n 2 .<br />
Ominaisarvoa λ = 4n 2 vastaa kaksi riippumatonta ominaisfunktiota<br />
u n+ = e 2nix ja u n− = e −2nix<br />
tai reaaliset<br />
u (1)<br />
n = cos(2nx) ja u (2)<br />
n = sin(2nx)<br />
Edellisessä esimerkissä ominaisarvot n ≠ 0 olivat kahdesti degeneroituneet. Monelle singulaariselle S-L<br />
ongelmalle ja sekareunaehto-ongelmalle voidaan kuitenkin johtaa Sturmin Liouvillen lauseen kaltaisia<br />
tuloksia mm. variaatiolaskennan keinoin (Katso esim. R. Courant, D. Hilbert: Methods of Mathematical<br />
Physics, vol.1, luku 6)