Fymm IIb luentojen betaversio

26
Yleinen ratkaisu on siis u(x) = 1 √ x
(C 1 + C 2 ln(x)). Lisäksi reunaehto
u(1) = C 1
√
1
= 0 ⇒ C 1 = 0,
eli
u(x) = Cln(x)/ √ x , joten |u(x)| −→ ∞ , kun x → 0.
Yhtälöllä ei siis ole ominaisarvoja eikä -funktioita.
Kuitenkin koska L on itseadjungoitu, aina pätee: Jos ominaisarvo on olemassa, se on reaalinen ja
erisuuria ominaisarvoja vastaavat ominaisfunktioit ovat ortogonaalisia.
Esimerkki 3.4 Periodiset reunaehdot.
Tutkitaan yhtälöä
välillä x ∈ [0, π], reunaehdoilla
d 2 u
+ λu = 0 (3.32)
dx2 u(0) = u(π) (3.33)
u ′ (0) = u ′ (π). (3.34)
Merk. α = √ −λ, jolloin yleinen ratkaisu on u(x) = C 1 e αx + C 2 e −αx . Reunaehdot:
(3.33) =⇒ C 1 + C 2 = C 1 e απ + C 2 e −απ
(3.34) =⇒ α(C 1 − C 2 ) = α(C 1 e απ − C 2 e −απ )
α = 0 kelpaa ja tätä vastaava ominaisfunktio on u ≡ C = vakio. Oletetaan sitten, että α ≠ 0 ja jaetaan
se pois toisesta reunaehdosta:
(3.33) =⇒ C 1 (1 − e απ ) + C 2
(
1 − e
−απ ) = 0
(3.34) =⇒ C 1 (1 − e απ ) − C 2
(
1 − e
−απ ) = 0
Jotta olisi nollasta eroava ((C 1 , C 2 ) ≠ ¯0) ratkaisu, ryhmän determinantin on oltava nolla, eli
−2 (1 − e απ ) ( 1 − e −απ) = 0
⇐⇒ e ±απ = 1
⇐⇒ απ = 2nπi
n ∈ Z
=⇒ λ n = −α 2 n = 4n 2 .
Ominaisarvoa λ = 4n 2 vastaa kaksi riippumatonta ominaisfunktiota
u n+ = e 2nix ja u n− = e −2nix
tai reaaliset
u (1)
n = cos(2nx) ja u (2)
n = sin(2nx)
Edellisessä esimerkissä ominaisarvot n ≠ 0 olivat kahdesti degeneroituneet. Monelle singulaariselle S-L
ongelmalle ja sekareunaehto-ongelmalle voidaan kuitenkin johtaa Sturmin Liouvillen lauseen kaltaisia
tuloksia mm. variaatiolaskennan keinoin (Katso esim. R. Courant, D. Hilbert: Methods of Mathematical
Physics, vol.1, luku 6)