Fymm IIb luentojen betaversio

22
Todistus 3.2 Olkoon ϕ 1 ja ϕ 2 kahteen erisuureen ominaisarvoon λ 1 ja λ 2 liittyvät ominaisfunktiot.
Nyt (vrt. edellisen lauseen todistus)
λ 1 ≠ λ 2 =⇒
〈Lϕ 1 |ϕ 2 〉 − 〈ϕ 1 |Lϕ 2 〉 = 0
=⇒(λ 1 − λ 2 )
∫ b
a
∫ b
a
dxw(x)ϕ 1 (x) ∗ ϕ 2 (x) = 0
dxw(x)ϕ 1 (x) ∗ ϕ 2 (x) = 0
eli
〈 √ wϕ 1 | √ wϕ 2 〉 = 0. (3.26)
Tyypillisempää on muuttaa Hilbert-avaruuden 3 L 2 [a, b] sisätuloa S-L ongelmaan sopivampaan muotoon
(f|g) :=
∫ b
a
dxw(x)f(x) ∗ g(x), (3.27)
jolloin ominaisfunktiot ovat ortogonaalisia perinteisessä mielessä, kun ne tulkitaan painotetun L 2 -
avaruuden alkioiksi, missä kaava (3.27) määrää sisätulon.
3.3 Sturmin ja Liouvillen lause
Lause 3.3 (Sturm & Liouville) Säännöllisen Sturm-Liouville-yhtälön Lu = λwu ratkaisuilla on
ainakin seuraavat ominaisuudet:
1. Ratkaisuja on olemassa (vain) kun λ = λ k , missä λ k , k = 1, 2, 3, . . . on ääretön jono reaalisia
ominaisarvoja (λ k < λ k+1 ) ja λ k → ∞, kun k → ∞.
2. Jokaista ominaisarvoa vastaa vakiokerrointa vaille yksikäsitteinen ratkaisu u k (”ominaisfunktio”).
3. Ominaisfunktiot ovat ortogonaalisia sisätulon (3.27) suhteen.
4. Ominaisfunktiolla u n on täsmälleen n 0-kohtaa välillä [a,b]. Ominaisfunktion u n+1 jokainen 0-
kohta on kahden u n :n peräkkäisen 0-kohdan välissä.
5. Ominaisfunktioiden joukko muodostaa kannan avaruuteen L 2 ([a, b]) eli jos f ∈ L 2 ([a, b]) ts. f on
neliöintegroituva kyseisellä välillä ja
a k = (u k|f)
(u k |u k ) = ∫ b
a dxw(x)u k(x)f(x)
∫ b
a dxw(x)(u k(x)) 2 ,
niin
∫ b
lim
N→∞ a
∫ b
a
N dx
∣ f(x) − ∑
a k u k (x)
∣
k=1
∞ dx
∣ f(x) − ∑
a k u k (x)
∣
k=1
2
2
=0, eli
=0.
Siis f ja yo. sarjakehitelmä ovat sama funktio L 2 -mielessä.
3 Näistä lisää myöhemmin