Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
22<br />
Todistus 3.2 Olkoon ϕ 1 ja ϕ 2 kahteen erisuureen ominaisarvoon λ 1 ja λ 2 liittyvät ominaisfunktiot.<br />
Nyt (vrt. edellisen lauseen todistus)<br />
λ 1 ≠ λ 2 =⇒<br />
〈Lϕ 1 |ϕ 2 〉 − 〈ϕ 1 |Lϕ 2 〉 = 0<br />
=⇒(λ 1 − λ 2 )<br />
∫ b<br />
a<br />
∫ b<br />
a<br />
dxw(x)ϕ 1 (x) ∗ ϕ 2 (x) = 0<br />
dxw(x)ϕ 1 (x) ∗ ϕ 2 (x) = 0<br />
eli<br />
〈 √ wϕ 1 | √ wϕ 2 〉 = 0. (3.26)<br />
Tyypillisempää on muuttaa Hilbert-avaruuden 3 L 2 [a, b] sisätuloa S-L ongelmaan sopivampaan muotoon<br />
(f|g) :=<br />
∫ b<br />
a<br />
dxw(x)f(x) ∗ g(x), (3.27)<br />
jolloin ominaisfunktiot ovat ortogonaalisia perinteisessä mielessä, kun ne tulkitaan painotetun L 2 -<br />
avaruuden alkioiksi, missä kaava (3.27) määrää sisätulon.<br />
3.3 Sturmin ja Liouvillen lause<br />
Lause 3.3 (Sturm & Liouville) Säännöllisen Sturm-Liouville-yhtälön Lu = λwu ratkaisuilla on<br />
ainakin seuraavat ominaisuudet:<br />
1. Ratkaisuja on olemassa (vain) kun λ = λ k , missä λ k , k = 1, 2, 3, . . . on ääretön jono reaalisia<br />
ominaisarvoja (λ k < λ k+1 ) ja λ k → ∞, kun k → ∞.<br />
2. Jokaista ominaisarvoa vastaa vakiokerrointa vaille yksikäsitteinen ratkaisu u k (”ominaisfunktio”).<br />
3. Ominaisfunktiot ovat ortogonaalisia sisätulon (3.27) suhteen.<br />
4. Ominaisfunktiolla u n on täsmälleen n 0-kohtaa välillä [a,b]. Ominaisfunktion u n+1 jokainen 0-<br />
kohta on kahden u n :n peräkkäisen 0-kohdan välissä.<br />
5. Ominaisfunktioiden joukko muodostaa kannan avaruuteen L 2 ([a, b]) eli jos f ∈ L 2 ([a, b]) ts. f on<br />
neliöintegroituva kyseisellä välillä ja<br />
a k = (u k|f)<br />
(u k |u k ) = ∫ b<br />
a dxw(x)u k(x)f(x)<br />
∫ b<br />
a dxw(x)(u k(x)) 2 ,<br />
niin<br />
∫ b<br />
lim<br />
N→∞ a<br />
∫ b<br />
a<br />
N dx<br />
∣ f(x) − ∑<br />
a k u k (x)<br />
∣<br />
k=1<br />
∞ dx<br />
∣ f(x) − ∑<br />
a k u k (x)<br />
∣<br />
k=1<br />
2<br />
2<br />
=0, eli<br />
=0.<br />
Siis f ja yo. sarjakehitelmä ovat sama funktio L 2 -mielessä.<br />
3 Näistä lisää myöhemmin