Fymm IIb luentojen betaversio

20
3.2 Itseadjungoidut operaattorit
Kompleksiarvoisille funktioille voidaan määritellä skalaaritulo eli sisätulo
〈f|g〉 =
∫ b
a
f ∗ (x)g(x)dx (3.17)
Nyt jokaiselle lineaariselle operaattorille A voidaan määritellä adjungoitu operaattori A † , jolle
kaikille annetut reunaehdot toteuttaville f ja g.
Esimerkki 3.1 A = d
dx
, reunaehdot f(a) = f(b) = 0.
〈f|Ag〉 =
〈f|Ag〉 = 〈A † f|g〉 (3.18)
∫ b
a
/ b
a
f ∗ (x) dg(x)
dx
dx
= f ∗ g −
} {{ }
0
∫ b
a
df ∗ (x)
dx
g(x)dx
= −〈 df
dx |g〉 =⇒ A† = − d
dx
Esimerkki 3.2 A = d2
dx 2 , reunaehdot f(a) = f(b) = 0.
〈f|Ag〉 =
∫ b
a
/ b
a
f ∗ (x) d2 g(x)
dx 2 dx
= f ∗ dg −
dx
} {{ }
0
/ b
df ∗
= −
a
dx g
} {{ }
0
∫ b
a
∫ b
+
a
df ∗ (x)
dx
= 〈Af|g〉 =⇒ A † = A
dg(x)
dx
dx
d 2 f ∗ (x)
dx 2 g(x)dx
Operaattori A, jolle A † = A, kuten yo. esimerkissä on itseadjungoitu eli hermiittinen. Matemaatikot
tosin tekevät eron näiden käsitteiden välillä liittyen operaattoreiden määrittelyjoukkoihin (palataan
myöhemmin). S-L-operaattorille (3.1) (p(x),q(x) reaalisia) pätee
〈Lu|v〉 − 〈u|Lv〉 =
ja lisäksi ”Lagrangen identiteetti” (FyMM IIa):
Yhdistämällä nämä saadaan
Reunaehdot:
∫ b
v(Lu) ∗ − u ∗ (Lv) = vLu ∗ − u ∗ Lv = d
dx
〈Lu|v〉 − 〈u|Lv〉 = −
a
/ a
b
v(Lu) ∗ − u ∗ (Lv)dx. (3.19)
[
)]
−p(x)
(v du∗ dv
− u∗ . (3.20)
dx dx
)
p(x)
(v du∗ dv
− u∗ . (3.21)
dx dx