Fymm IIb luentojen betaversio

2
Sisältö
1 Johdanto 3
2 Variaatiolaskenta 3
2.1 Kertausta: Funktion ääriarvot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Funktionaalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Eulerin yhtälö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.1 Yleistys monen funktion funktionaaliin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2 Yleistys monen muuttujan funktioihin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Sidottu (Ehdollinen) variaatioprobleema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Isoperimetrinen ongelma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Toinen variaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 Funktionaaliderivaatta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8 Ritzin menetelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Sturm-Liouville-Teoria 17
3.1 Perusominaisuudet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Erikoisfunktiot ja Sturm-Liouville yhtälöt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.2 Yksinkertainen esimerkki S-L ongelmasta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Itseadjungoidut operaattorit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Sturmin ja Liouvillen lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 S-L operaattorin Greenin funktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Sturm-Liouville -ongelma variaatio-ongelmana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Rayleighin ja Ritzin menetelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6.1 Esimerkki: Patarummun säveltaajuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Hilbertavaruuksista 32
4.1 Vektori-, normi- ja sisätuloavaruudet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Gram-Schmidt ja projektio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Hilbert avaruudet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4 Aliavaruudet ja separoituvuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.5 Hilbertin avaruuden jatkuvat funktionaalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Operaattorit 46
5.1 Perusominaisuudet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 Adjungoitu operaattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Hermiittiset ja unitaariset operaattorit, projektio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 Spektraaliteoriaa 52
6.1 Ominaisvektorit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2 Rajoitetun operaattorin spektri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3 Hermiittisen operaattorin spektri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.4 Spektraaliesitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.5 Rajoittamattomat operaattorit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.6 Adjungoitu operaattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.7 Käänteisoperaattorin yleistys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.8 Itseadjungoidun operaattorin spetkristä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.9 Yhteys kvanttimekaniikkaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.10 Paikkaoperaattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.11 Diracin merkintätapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.12 Impulssioperaattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67