Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
10<br />
Näistä ensimmäinen termi on 0, sillä η(¯x) ≡ 0 reunalla, joten<br />
∫ ( (<br />
J[y + η] − J[y] = d n ∂f<br />
n∑<br />
( ) ))<br />
x η<br />
∂y − ∂ ∂f<br />
∂x i ∂y xi<br />
= 0<br />
Ω<br />
⇐⇒<br />
∂f n∑<br />
∂y −<br />
i=1<br />
i=1<br />
( )<br />
∂ ∂f<br />
∂x i ∂(∂y/∂x i )<br />
Luonnollisesti tulos yleistyy monen funktion funktionaalille. Tällöin Eulerin yhtälöt ovat<br />
∂f<br />
∂y k<br />
−<br />
i=1<br />
kaikilla k = 1, . . . , n, jos<br />
∫<br />
J = J[y 1 , . . . , y k ] =<br />
= 0. (2.13)<br />
n∑<br />
(<br />
)<br />
∂ ∂f<br />
= 0 (2.14)<br />
∂x i ∂(∂y k /∂x i )<br />
Ω<br />
d n xf(y 1 , . . . , y k , . . . , ∂y l<br />
∂x m<br />
, . . . , ¯x),<br />
missä käydään läpi kaikkien funktioiden kaikki osittaisderivaatat.<br />
Esimerkki 2.10 Skalaarikenttä minkowski-avaruudessa.<br />
x 0 = ct, x 1 = x, x 2 = y ja x 3 = z sekä vaikutus<br />
∫ ( ( ) )<br />
S = dtd 3 1 ∂ϕ 2<br />
x<br />
− 1 2c ∂t 2 (∇ϕ)2 − 1 2 m2 ϕ 2 .<br />
Jolloin:<br />
δS = 0<br />
⇐⇒ −m 2 ϕ − 1 ∂ ∂ϕ<br />
c 2 ∂t ∂t + ∂2 ϕ<br />
∂x 2 + ∂2 ϕ<br />
∂y 2 + ∂2 ϕ<br />
∂z 2 = 0<br />
⇐⇒ ( 1 ∂ 2<br />
c 2 ∂t 2 − ∆)ϕ + m2 ϕ = 0 (Klein-Gordon-yhtälö!)<br />
2.4 Sidottu (Ehdollinen) variaatioprobleema<br />
Etsittävä funktionaalin (taas käydään läpi kaikki osittaisderivaatat ja x ∈ R n )<br />
∫<br />
J[y] = d n xf(y 1 , . . . , y k , . . . , ∂y l<br />
, . . . , ¯x) (2.15)<br />
∂x m<br />
stationaariset arvot ehtojen (k = 1, . . . , K)<br />
Ω<br />
ϕ k (y j , ∂y j<br />
∂x i<br />
, ¯x) := ϕ k (y 1 , . . . , y n , . . . , ∂y l<br />
∂x m<br />
, . . . , ¯x) = 0 (2.16)<br />
valitessa. Ehtoja 2.16 kutsutaan holonomisiksi, jos ϕ ei riipu y i :n derivaatoista (muuten ne ovat eiholonomisia).<br />
Taas ratkaisu löytyy Lagrangen kertojien avulla ts. tutkimalla funktionaalia<br />
∫<br />
K[y] =<br />
Ω<br />
d n x<br />
(<br />
f +<br />
K∑<br />
k=1<br />
λ k (¯x)ϕ k (y j , ∂y j<br />
∂x i<br />
, ¯x)<br />
)<br />
. (2.17)