Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Kun häiriön jakauma on N(0, δI), niin MAP-estimointi on ekvivalentti sakotetun<br />
pienimmän neliösumman menetelmän (eng. penalized least squares method)<br />
kanssa; minimoitava funktionaali ei ole ‖y 0 − Fx‖ 2 , vaan siihen on summattu<br />
termi − lncf pr (x), joka on suuri silloin kun vektorilla x on ei-toivottuja ominaisuuksia.<br />
• Funktio x ↦→ ‖y 0 − Fx‖ 2 saa pienimmän arvonsa pisteissä<br />
ˆx = Qx 0 + ˜x + ˜ε 0 ,<br />
missä Q : R n → R n on ortogonaalinen projektio kuva-avaruudelle R(F T ),<br />
˜x ∈ Ker(F) ja ˜ε 0 on häiriötermin ε 0 vaikutus likimääräisratkaisuun.<br />
• Jos − lncf pr (x) on suuri vektoreille x, jotka ovat tyyppiä x 0 + ˜ε 0 , niin sakkotermi<br />
− lncf pr (x) pienentää häiriön vaikutusta estimaatissa. Toisaalta<br />
funktion − lncf pr (x) minimikohta (eli funktion f pr (x) maksimikohta) ei<br />
yleensä ole x 0 tällaisille prioritntf:lle. Estimaatti ˆx MAP on tällöin ”kompromissi”häiriöiseen<br />
dataan sopivan häiriöisen estimaatin ˆx ja prioritntf:n<br />
suosiman vektorin välillä.<br />
Sama ilmiö näkyy myös CM-estimaatissa<br />
∫<br />
ˆx CM (y 0 ) = xf post (x; y 0 )dx.<br />
R n ∫<br />
= c y0 e − 1<br />
2δ ‖y0−F(x)‖2 f pr (x)dx<br />
R n<br />
= c y0<br />
∫R n xe − 1 2δ ‖y0−F(x)‖2 +ln cf pr(x) dx<br />
jossa lasketaan posterioriodotusarvo yli kaikkien mahdollisten tuntemattomien.<br />
• Niillä vektoreilla x, joilla<br />
1<br />
2δ ‖y 0 − F(x)‖ 2 − lncf pr (x)<br />
on pieni, on suurehko paino odotusarvossa. Niillä vektoreilla x, joilla<br />
1<br />
2δ ‖y 0 − F(x)‖ 2 − lncf pr (x)<br />
on suuri, on pienehkö paino odotusarvossa.<br />
• Jos − lncf pr (x) on suuri vektoreille x, jotka ovat tyyppiä x 0 + ˜ε 0 , niin<br />
prioritntf. f pr (x) pienentää häiriön ǫ 0 kontribuutiota odotuskeskiarvoon.<br />
Esimerkki 23 (Tasainen priorijakauma). Oletetaan, että F on injektio. Olkoon<br />
f pr (x) = 1<br />
|Q 1 r| Q r<br />
(x), missä Q r ⊂ R n on suljettu origokeskinen kuutio, jonka<br />
sivun pituus on r.<br />
Silloin<br />
f post (x) = c y0 e − 1 2δ ‖y0−F(x)‖2 1 Qr (x)<br />
ja<br />
ja<br />
ˆx MAP (y 0 ; r) = argmin<br />
x∈Q r<br />
‖y 0 − F(x)‖ 2<br />
lim x MAP(y 0 ; r) = argmin ‖y 0 − F(x)‖ 2 ,<br />
r→∞ x∈R n<br />
75