Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

Kun häiriön jakauma on N(0, δI), niin MAP-estimointi on ekvivalentti sakotetun
pienimmän neliösumman menetelmän (eng. penalized least squares method)
kanssa; minimoitava funktionaali ei ole ‖y 0 − Fx‖ 2 , vaan siihen on summattu
termi − lncf pr (x), joka on suuri silloin kun vektorilla x on ei-toivottuja ominaisuuksia.
• Funktio x ↦→ ‖y 0 − Fx‖ 2 saa pienimmän arvonsa pisteissä
ˆx = Qx 0 + ˜x + ˜ε 0 ,
missä Q : R n → R n on ortogonaalinen projektio kuva-avaruudelle R(F T ),
˜x ∈ Ker(F) ja ˜ε 0 on häiriötermin ε 0 vaikutus likimääräisratkaisuun.
• Jos − lncf pr (x) on suuri vektoreille x, jotka ovat tyyppiä x 0 + ˜ε 0 , niin sakkotermi
− lncf pr (x) pienentää häiriön vaikutusta estimaatissa. Toisaalta
funktion − lncf pr (x) minimikohta (eli funktion f pr (x) maksimikohta) ei
yleensä ole x 0 tällaisille prioritntf:lle. Estimaatti ˆx MAP on tällöin ”kompromissi”häiriöiseen
dataan sopivan häiriöisen estimaatin ˆx ja prioritntf:n
suosiman vektorin välillä.
Sama ilmiö näkyy myös CM-estimaatissa
∫
ˆx CM (y 0 ) = xf post (x; y 0 )dx.
R n ∫
= c y0 e − 1
2δ ‖y0−F(x)‖2 f pr (x)dx
R n
= c y0
∫R n xe − 1 2δ ‖y0−F(x)‖2 +ln cf pr(x) dx
jossa lasketaan posterioriodotusarvo yli kaikkien mahdollisten tuntemattomien.
• Niillä vektoreilla x, joilla
1
2δ ‖y 0 − F(x)‖ 2 − lncf pr (x)
on pieni, on suurehko paino odotusarvossa. Niillä vektoreilla x, joilla
1
2δ ‖y 0 − F(x)‖ 2 − lncf pr (x)
on suuri, on pienehkö paino odotusarvossa.
• Jos − lncf pr (x) on suuri vektoreille x, jotka ovat tyyppiä x 0 + ˜ε 0 , niin
prioritntf. f pr (x) pienentää häiriön ǫ 0 kontribuutiota odotuskeskiarvoon.
Esimerkki 23 (Tasainen priorijakauma). Oletetaan, että F on injektio. Olkoon
f pr (x) = 1
|Q 1 r| Q r
(x), missä Q r ⊂ R n on suljettu origokeskinen kuutio, jonka
sivun pituus on r.
Silloin
f post (x) = c y0 e − 1 2δ ‖y0−F(x)‖2 1 Qr (x)
ja
ja
ˆx MAP (y 0 ; r) = argmin
x∈Q r
‖y 0 − F(x)‖ 2
lim x MAP(y 0 ; r) = argmin ‖y 0 − F(x)‖ 2 ,
r→∞ x∈R n
75