Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Maksimi a posteriori-estimaatti ˆx MAP (y) (eng. maximum a posteriori estimate)<br />
voi olla hyödyllinen tilanteissa, joissa posterioriodotusarvojen laskeminen on<br />
raskasta. Se saadaan myös kaavalla<br />
ˆx MAP (y) = argmaxf Y (y|X = x)f pr (x)<br />
x∈R n<br />
MAP-estimaattia käytetään usein myös silloin, kun posteriorijakauma ei ole<br />
yksihuippuinen, jolloin estimaatti voi saada useampia arvoja. MAP-estimaattia<br />
käytetään myös tasaisten priorijakaumien yhteydessä.<br />
Estimaattien ˆx lisäksi voimme määrätä niiden komponenteille ˆx i Bayesluottamusvälin<br />
valitsemalla luvun a yhtälöstä<br />
missä esim. α = 0.05.<br />
P post (|X i − ˆx i | ≤ a) = 1 − α<br />
4.5.2 Huonosti asetetut ja häiriöherkät lineaariset ongelmat<br />
Olkoon<br />
y 0 = F(x 0 ) + ε 0<br />
annettu data, joka on näyte satunnaisvektorista<br />
Y = F(X) + ε,<br />
missä X : Ω → R n ja ε : Ω → R m ovat tilastollisesti riippumattomia satunnaisvektoreita<br />
ja F : R n → R m on jatkuva lineaarinen huonosti asetettu kuvaus<br />
jolla on pieniä nollasta eroavia singulaariarvoja tai häiriöherkkä hyvin asetettu<br />
kuvaus.<br />
Olkoon satunnaisvektorin (X, Y ) yhteistntf f (X,Y ) erikseen jatkuva pisteissä<br />
x, y ∈ R n×m joissa f (X,Y ) (x, y) > 0. Tarkastellaan yksinkertaisuuden vuoksi<br />
Gaussista häiriömallia ε ∼ N(0, δI), δ > 0. Olkoon f pr sellainen, että jollakin<br />
c > 0 pätee f pr (x) ≤ c −1 kaikilla x ∈ R n . Tällöin cf pr (x) ≤ 1.<br />
Tuntemattoman maksimi a posteriori-estimaatti on<br />
ˆx MAP (y 0 )<br />
= argmaxf Y (y 0 |X = x)f pr (x)<br />
x∈R n<br />
= argmaxf ε (y 0 − F(x))f pr (x)<br />
x∈R n<br />
= argmax<br />
x∈R n e − 1 2δ ‖y0−F(x)‖2 +ln cf pr(x) .<br />
Funktio [0, ∞) ∋ t ↦→ exp(−t) on vähenevä, joten<br />
kun g : R n → [0, ∞). Erityisesti<br />
sup exp(−g(x)) = exp(− inf g(x))<br />
x∈R n x∈R n<br />
ˆx MAP (y 0 ) = argmaxe − 1 2δ ‖y0−Fx‖2 +ln cf 1<br />
pr(x). = argmin<br />
x∈R n<br />
x∈R n 2δ ‖y 0 − Fx‖ 2 − lncf pr (x).<br />
74