Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

Maksimi a posteriori-estimaatti ˆx MAP (y) (eng. maximum a posteriori estimate)
voi olla hyödyllinen tilanteissa, joissa posterioriodotusarvojen laskeminen on
raskasta. Se saadaan myös kaavalla
ˆx MAP (y) = argmaxf Y (y|X = x)f pr (x)
x∈R n
MAP-estimaattia käytetään usein myös silloin, kun posteriorijakauma ei ole
yksihuippuinen, jolloin estimaatti voi saada useampia arvoja. MAP-estimaattia
käytetään myös tasaisten priorijakaumien yhteydessä.
Estimaattien ˆx lisäksi voimme määrätä niiden komponenteille ˆx i Bayesluottamusvälin
valitsemalla luvun a yhtälöstä
missä esim. α = 0.05.
P post (|X i − ˆx i | ≤ a) = 1 − α
4.5.2 Huonosti asetetut ja häiriöherkät lineaariset ongelmat
Olkoon
y 0 = F(x 0 ) + ε 0
annettu data, joka on näyte satunnaisvektorista
Y = F(X) + ε,
missä X : Ω → R n ja ε : Ω → R m ovat tilastollisesti riippumattomia satunnaisvektoreita
ja F : R n → R m on jatkuva lineaarinen huonosti asetettu kuvaus
jolla on pieniä nollasta eroavia singulaariarvoja tai häiriöherkkä hyvin asetettu
kuvaus.
Olkoon satunnaisvektorin (X, Y ) yhteistntf f (X,Y ) erikseen jatkuva pisteissä
x, y ∈ R n×m joissa f (X,Y ) (x, y) > 0. Tarkastellaan yksinkertaisuuden vuoksi
Gaussista häiriömallia ε ∼ N(0, δI), δ > 0. Olkoon f pr sellainen, että jollakin
c > 0 pätee f pr (x) ≤ c −1 kaikilla x ∈ R n . Tällöin cf pr (x) ≤ 1.
Tuntemattoman maksimi a posteriori-estimaatti on
ˆx MAP (y 0 )
= argmaxf Y (y 0 |X = x)f pr (x)
x∈R n
= argmaxf ε (y 0 − F(x))f pr (x)
x∈R n
= argmax
x∈R n e − 1 2δ ‖y0−F(x)‖2 +ln cf pr(x) .
Funktio [0, ∞) ∋ t ↦→ exp(−t) on vähenevä, joten
kun g : R n → [0, ∞). Erityisesti
sup exp(−g(x)) = exp(− inf g(x))
x∈R n x∈R n
ˆx MAP (y 0 ) = argmaxe − 1 2δ ‖y0−Fx‖2 +ln cf 1
pr(x). = argmin
x∈R n
x∈R n 2δ ‖y 0 − Fx‖ 2 − lncf pr (x).
74