Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

Vaihto-ehto 1) Tuntematonta mallinnetaan satunnaisvektorina X, jolla on
todennäköisyystiheysfunktio
∫
f pr (x) = fX(x)f s σ (s)ds 1 · · · ds n ′
(mikäli tämä marginaalitntf on olemassa). Vastaava posteriorijakauma on
f post (x) = cf Y (y|X = x)f pr (x)
kun f Y (y) > 0.
Vaihtoehto 2) Myös hyperparametria σ pidetään osana tuntemattonta ja
prioriksi otetaan yhteisjakauma
jolloin
f pr (x, s) = f s X(x)f σ (s).
f post (x, s) = cf Y (y|(X, σ) = (x, s))f pr (x, s) = cf Y (y|X = x, s)f pr (x, s)
kun f Y (y) > 0, sillä uskottavuusfunktio ei riipu parametrin σ arvosta.
Vastaavaa prioritodennäköisyystiheysjakaumaanimitetään hierarkiseksi prioriksi
(eng. hierarchical prior). Parametreja σ : Ω → R n′ nimitetään hyperparametreiksi
(eng. hyperparameter) ja sen jakaumaa hyperprioriksi (eng. hyper
prior).
Esimerkki 20. Olkoon X : Ω → R 3 tuntematonta mallintava satunnaisvektori
ja σ : Ω → R satunnaismuuttuja. Olkoon
⎛
D s = ⎝ 1 0 0 ⎞
0 s 0⎠.
0 0 1
ja
⎛
L = ⎝ 1 0 0
⎞
−1 1 0⎠.
0 −1 1
Oletetaan , että
f X (x|σ = s) = c s e − 1 2 xT L T D sLx = 2√ s
√
2π
3 exp (
− 1 2 x2 1 − s 2 (x 2 − x 1 ) 2 − 1 2 (x 3 − x 2 ) 2 )
ja
f σ (s) = λf + (s)e −λs
missä λ > 0 ja f + (s) = 1 kun s > 0 ja 0 muulloin. Silloin
f (X,σ) (x, s) =
√ sλ
( √ 2π) f +(s)exp
(− 1 3 2 x2 1 − s 2 (x 2 − x 1 ) 2 − 1 )
2 (x 3 − x 2 ) 2 e −λs
69