Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

[0, 1] : i = 1, .., n 2 } = {( k n , j n ) : k, j = 1, ..., n}. Olkoon matriisi L ∈ ×n 2
Rn2
sellainen, että
⎧
⎪⎨ 4, i = j,
L ij = −1, kunj ∈ N i
⎪⎩
0, muulloin.
missä pisteen i ympäristö N i sisältää indeksit k, jotka ovat pisteen t i vasemman-,
oikean-, ylä- ja alapuolisen pisteen t k indeksit (mikäli nämä pisteet ovat olemassa).
Määritellään satunnaisvektori X yhtälöllä
missä W ∼ N(0, I n 2).
1
a 2 LX = W ⇔ X = a2 L −1 W
• Priorijakauma sisältää oletuksen, että indeksialueen ulkopuolella tuntematon
häviää.
• Matriisi-indekseillä riippumattomat normaalijakautuneet satunnaismuuttujat
−X i(k+1) −X i(k−1) +4X ik −X (i+1)k −X (i−1)k = −X i(k+1) +2X ik −X i(k−1) −X (i+1)k +2X ik −X (i−1)k
ovat eri akselien suuntaan laskettujen 2. differenssien summa.
• Parametrin a valinta perustuu siihen, kuinka varmasti uskomme tuntematoman
vierekkäisten komponenttien toisten differenssien summan saavan
suurehkoja arvoja. Tämä liittyy käsitykseemme tuntemattomasta funktiosta
f otetun Laplacen operaattorin ∆f käytöksestä.
Korrelaatiopriorit:
Jos satunnaisvektori X ∼ N(0, C) mallintaa tuntemattoman 2π-periodisen
funktion f arvoja pisteissä t i = 2π(i − 1)/n, i = 1, ..., n, niin myös sen kovarianssimatriisin
tulisi kuvata periodisuutta. Tämä voidaan toteuttaa valitsemalla
sopiva vektori
c = (c 1 , ..., c n )
ja ottamalla C sirkulantiksi matriisiksi, jonka c määrää.
Esimerkiksi
c i = e −α|i−n/2| (4.3)
kun i = 1, ..., n.
• Prioritieto periodisuudesta on sisällytetty kovarianssimatriisin rakenteeseen.
• Yhtälölle (4.3) määritelty c riippuu parametrista α > 0. Parametri α kuvaa
käsitystämme tuntemattoman vektorin komponenttien välillä vallitsevasta
riippuvuudesta.
67