Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
missä W ∼ N(0, I n ). Tällöin satunnaismuuttujat<br />
X i − X i−1 ∼ N(0, a 2 ), i = 1, .., n<br />
ovat toisistaan riippumattomia. Tässä X 0 ≡ 0. Satunnaisvektori X = (X 1 , ..., X n ) ∼<br />
N(0, a 2 (LL T ) −1 ) ja<br />
f pr (x) = ce − 1<br />
2a 2 (x 2 1 +P n<br />
i=2 (xi−xi−1)2 ) .<br />
• Jakauma sisältää priorioletuksen: reunaa vastaava komponentti X 0 ≡ 0.<br />
• Jos parametri a on suuri, niin vierekkäisten komponenttien erotukset voivat<br />
olla suurehkoja. Jos parametri a on pieni, on todennäköisempää että<br />
vierekkäisten pisteiden erotus on pienehkö.<br />
• Parametrin a valinta perustuu siihen, kuinka varmasti uskomme tuntematoman<br />
vierekkäisten komponenttien erotukset saavan suurehkoja arvoja.<br />
Tämä liittyy käsitykseemme tuntemattoman funktion derivaatan käytöksestä.<br />
Vastaavasti, voimme tarkastella toisia differenssejä ja asettaa<br />
Tällöin<br />
1<br />
a 2 L2 X = W.<br />
f pr (x) = ce − 1<br />
2a 4 (x 2 1 +(−2x2−x1)2 + P n<br />
i=3 (xi−2xi−1+xi−2)2 ) .<br />
joilla<br />
• Jakauma sisältää priorioletukset: reunaa vastaava komponentti X 0 ≡ 0<br />
samoin kuin X −1 ≡ 0 joka mallintaa funktion arvoa pisteessä f(t −1 ),<br />
t −1 < 0.<br />
• Jos parametri a on suuri, niin vierekkäisten komponenttien toiset differenssit<br />
voivat olla suurehkoja. Jos parametri a on pieni, on todennäköisempää<br />
että vierekkäisten pisteiden toiset differenssit ovat pienehkö.<br />
• Parametrin a valinta perustuu siihen, kuinka varmasti uskomme tuntematoman<br />
vierekkäisten komponenttien toiset differenssit saavan suurehkoja<br />
arvoja. Tämä liittyy käsitykseemme tuntemattoman funktion toisen derivaatan<br />
käytöksestä.<br />
Vastaavasti voidaan määritellä korkeammilla differensseillä<br />
k=0<br />
1<br />
a m Lm X = W,<br />
m∑ ( (−1) k m<br />
)<br />
X i−k ∼ N(0, a 2m )<br />
k<br />
ovat riiippumattomia satunnaismuuttujia.<br />
2D-tapaus: Oletetaan, että X kuvaa funktion f arvoja pisteissä t i ∈ [0, 1] ×<br />
[0, 1], i = 1, .., n 2 , ja f(t) = 0 kun t /∈ [0, 1] × [0, 1]. Oletetaan, että {t i ∈ [0, 1] ×<br />
66