Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

missä W ∼ N(0, I n ). Tällöin satunnaismuuttujat
X i − X i−1 ∼ N(0, a 2 ), i = 1, .., n
ovat toisistaan riippumattomia. Tässä X 0 ≡ 0. Satunnaisvektori X = (X 1 , ..., X n ) ∼
N(0, a 2 (LL T ) −1 ) ja
f pr (x) = ce − 1
2a 2 (x 2 1 +P n
i=2 (xi−xi−1)2 ) .
• Jakauma sisältää priorioletuksen: reunaa vastaava komponentti X 0 ≡ 0.
• Jos parametri a on suuri, niin vierekkäisten komponenttien erotukset voivat
olla suurehkoja. Jos parametri a on pieni, on todennäköisempää että
vierekkäisten pisteiden erotus on pienehkö.
• Parametrin a valinta perustuu siihen, kuinka varmasti uskomme tuntematoman
vierekkäisten komponenttien erotukset saavan suurehkoja arvoja.
Tämä liittyy käsitykseemme tuntemattoman funktion derivaatan käytöksestä.
Vastaavasti, voimme tarkastella toisia differenssejä ja asettaa
Tällöin
1
a 2 L2 X = W.
f pr (x) = ce − 1
2a 4 (x 2 1 +(−2x2−x1)2 + P n
i=3 (xi−2xi−1+xi−2)2 ) .
joilla
• Jakauma sisältää priorioletukset: reunaa vastaava komponentti X 0 ≡ 0
samoin kuin X −1 ≡ 0 joka mallintaa funktion arvoa pisteessä f(t −1 ),
t −1 < 0.
• Jos parametri a on suuri, niin vierekkäisten komponenttien toiset differenssit
voivat olla suurehkoja. Jos parametri a on pieni, on todennäköisempää
että vierekkäisten pisteiden toiset differenssit ovat pienehkö.
• Parametrin a valinta perustuu siihen, kuinka varmasti uskomme tuntematoman
vierekkäisten komponenttien toiset differenssit saavan suurehkoja
arvoja. Tämä liittyy käsitykseemme tuntemattoman funktion toisen derivaatan
käytöksestä.
Vastaavasti voidaan määritellä korkeammilla differensseillä
k=0
1
a m Lm X = W,
m∑ ( (−1) k m
)
X i−k ∼ N(0, a 2m )
k
ovat riiippumattomia satunnaismuuttujia.
2D-tapaus: Oletetaan, että X kuvaa funktion f arvoja pisteissä t i ∈ [0, 1] ×
[0, 1], i = 1, .., n 2 , ja f(t) = 0 kun t /∈ [0, 1] × [0, 1]. Oletetaan, että {t i ∈ [0, 1] ×
66