Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
vektoriksi riveittäin. Satunnaisvektorilla X : Ω → R 2 on totaalivariaatiopriorijakauma<br />
, jos<br />
f pr (x) = ce − P n<br />
j=1 Vj(x)<br />
missä<br />
V j (x) = α ∑<br />
l ij |x i − x j |<br />
2<br />
i∈N j<br />
ja indeksin j naapurusto N j sisältää ne indeksit, joita vastaavilla pikseleillä on<br />
yhteinen sivu pikselin j kanssa. Luku l ij on yhteisen sivun pituus.<br />
• Totaalivariaatio ∑ n<br />
j=1 1 ∑<br />
2 i∈N j<br />
l ij |x i −x j | on pieni, jos pikselin i väriarvo<br />
x i ja sen naapuripikselien väriarvot x j , j ∈ N i eivät eroa paljon toisistaan<br />
tai eroavat paljon vain sellaisten pikselijoukkojen välillä, joiden reunan<br />
pituus on lyhyt. Vastaavasti tntf antaa suuren painon tällaisille vektoreille.<br />
• Parametrin α valinta perustuu siihen kuinka varmasti uskomme tuntematoman<br />
totaalivariaation saavan suurehkoja arvoja.<br />
Esimerkki 18. Diskreetit Markovin kentät soveltuvat hyvin rakenteesta olevan<br />
prioritiedon esittämiseen. Esim. lääketieteellisessä kuvantamisessa on joskus<br />
mahdollsita tietää etukäteen missä eri elinten rajapinta sijaitsee esim. anatomian<br />
tai röntgenkuvien perusteella. Silloin voimme valita naapurustot siten,<br />
että j /∈ N i jos pikseli j kuuluu eri elimeen kuin pikseli i. Tällöin satunnaisvektorin<br />
X eri elimiä edustavat komponentit ovat toisistaan riippumattomia, mikä<br />
mahdollistaa komponenttien arvojen suurehkot hypyt kudosten rajapinnan yli.<br />
Gaussinen jakauma<br />
Olkoon X ∼ N(m, C) eli satunnaisvektori X on multinormaalijakautunut, sen<br />
odotusarvovektori on m ja kovarianssimatriisi on C. Gaussista priorijakaumaa<br />
suositaan kahdesta syystä: 1) posteriorijakauman yksinkertaisuus kun häiriö on<br />
myös Gaussinen ja 2) keskeinen raja-arvolause.<br />
Keskeinen raja-arvolause: Jos satunnaismuuttujat {Z i : i ∈ N} ovat<br />
pareittain riippumattomia, samoin jakautuneita ja m = E[Z i ] sekä C = E[(Z i −<br />
m) 2 ] ovat äärellisiä, niin satunnaismuutjien<br />
X n =<br />
n∑<br />
i=1<br />
(Z i − m)<br />
√<br />
nC<br />
jakauma, kun n kasvaa rajatta, lähestyy normaalijakaumaa N(0, 1) siinä mielessä<br />
että<br />
lim P(X n ≤ a) = 1 ∫ a<br />
√ e −1 2 x2 dx<br />
n→∞ 2π −∞<br />
jokaisella a ∈ R.<br />
Keskeinen raja-arvolause takaa myös sen, että eräät häiriötermit ovat lähes<br />
multinormaalijakautuneita. Esimerkiksi kaikissa elektronisissa mittalaitteissa<br />
esiintyy lämpökohinaa, joka johtuu elektronien satunnaisesta lämpöliikkeestä:<br />
sähkövirta hetkellä t ei ole täsmälleen jännite-erojen aikaansaama virta, vaan siihen<br />
on summautunut jokaisen elektronin pieni satunnainen lämpöliike. Kunkin<br />
64
Change language