Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
0.7<br />
0.6<br />
alpha=0.5<br />
alpha=1<br />
alpha=2<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0<br />
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10<br />
Kuva 4.2: Cauchy-jakauman tntf.<br />
Diskreetit Markovin kentät<br />
Oletetaan, että tuntematon vektori kuvaa jonkin n ′ -muuttujan funktion f :<br />
R n′ → R arvoja pisteissä t i , i = 1, ..., n.<br />
Indeksien i naapurustot N i ⊂ {1, ..., n} ovat jokin joukkoperhe jolle pätee<br />
1. i /∈ N i<br />
2. i ∈ N j jos ja vain jos j ∈ N i .<br />
Määritelmä 19. Satunnaisvektori X on diskreetti Markovin kenttä naapurustojen<br />
N i , i = 1, .., n suhteen jos<br />
f Xi (x|(X 1 , X 2 , .., X i−1 , X i+1 , X i+2 , ..., X n ) = (x 1 , x 2 , .., x i−1 , x i+1 , x i+2 , ..., x n ))<br />
= f Xi (x|X k = x k ∀k ∈ N i )<br />
Diskreetin Markovin kentän komponentti X i riippuu ainoastaan naapurikomponenteista<br />
X k , k ∈ N i .<br />
Lause 11 (Hammersley-Clifford). Olkoon satunnaisvektori X : Ω → R n diskreetti<br />
Markovin kenttä naapurustojen N i , i = 1, .., n suhteen, jolla on tntf.<br />
f X > 0. Silloin<br />
f X (x) = ce − P n<br />
i=1 Vi(x)<br />
missä funktio V i : R n → R riippuu vain komponentista x i ja sen naapurikomponenteistä<br />
x k , k ∈ N i .<br />
Esimerkki 17. Oletetaan, että satunnaisvektori X mallintaa N × N-pikselin<br />
kuvaa siten, että kuvaa vastaava matriisi on järjestetty n = N 2 -ulotteiseksi<br />
63