Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Merkitään satunnaismuuttujien X ja Y yhteistodennäköisyystiheysfunktiota<br />
f = f(x, y), f : R n × R m → [0, ∞) ja satunnaismuuttujan Y todennäköisyystiheysfunktiota<br />
f Y (y).<br />
Oletetaan, että yhteistnft f on erikseen jatkuva kummankin argumenttinsa<br />
suhteen pisteissä f(x, y) ≠ 0. Bayesin kaavasta<br />
seuraa erityisesti, että<br />
jos f Y (y 0 ) ≠ 0.<br />
f(x, y) = f Y (y|X = x)f pr (x) = f X (x|Y = y)f Y (y)<br />
f X (x|Y = y 0 ) = f Y (y 0 |X = x)f pr (x)<br />
f Y (y 0 )<br />
Määritelmä 18. Tuntemattomatonta mallintavan satunnaisvektorin X : Ω →<br />
R n posterioritodennäköisyystiheysfunktio, kun Y = y 0 on annettu, on<br />
siinä tapauksessa, että f Y (y 0 ) ≠ 0.<br />
f post (x) := f Y (y 0 |X = x)f pr (x)<br />
,<br />
f Y (y 0 )<br />
Esimerkki 15. Oletetaan, että häiriö ε ∼ N(0, C ε ), tuntematon X ∼ N(0, C X ),<br />
tuntematon ja häiriö ovat riippumattomia, F : R n → R m on lineaarinen ja<br />
y 0 = Fx 0 + ǫ 0 on näyte satunnaismuuttujasta Y = FX + ε. Silloin<br />
1<br />
f Y (y|X = x) = √<br />
(2π)m det(C ε ) e− 1 2 (y−Fx)T C −1<br />
ε<br />
(y−Fx)<br />
ja posterioritntf on<br />
f post (x) = C y0 e −1 2 (y0−Fx)T Cε<br />
−1 (y0−Fx) e −1 2 xT C −1<br />
X x ,<br />
missä C y on normitusvakio. Tarkastellaan eksponenttia:<br />
− 1 2 (y 0 − Fx) T Cε<br />
−1 (y 0 − Fx) − 1 2 xT C −1<br />
X x<br />
= −1 2 yT 0 Cε<br />
−1 y 0 + 1 2 xT F T Cε −1 y 0<br />
Merkitään<br />
C post = ( F T C −1<br />
ε<br />
ja täydennetään eksponentti neliöksi<br />
+ 1 2 yT 0 C −1<br />
ε<br />
F + C −1 ) −1<br />
X<br />
Fx − 1 2 xT ( F T C −1<br />
ε<br />
F + C −1 )<br />
X x.<br />
− 1 2 (y 0 − Fx) T Cε<br />
−1 (y 0 − Fx) − 1 2 xT C −1<br />
X x<br />
= −1 2 (yT 0 C−1 ε y 0 ) + 1 2 xT Cpost −1 C postF T Cε −1 y 0<br />
+ 1 2 yT 0 C−1 ε FC post Cpost −1 x − 1 2 xT Cpost −1 x<br />
= − 1 2 (yT 0 C−1 ε y 0 ) − 1 2 (x − m post) T Cpost(x −1 − m post )<br />
+ 1 2 mT postC −1<br />
postm post<br />
56