Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

Merkitään satunnaismuuttujien X ja Y yhteistodennäköisyystiheysfunktiota
f = f(x, y), f : R n × R m → [0, ∞) ja satunnaismuuttujan Y todennäköisyystiheysfunktiota
f Y (y).
Oletetaan, että yhteistnft f on erikseen jatkuva kummankin argumenttinsa
suhteen pisteissä f(x, y) ≠ 0. Bayesin kaavasta
seuraa erityisesti, että
jos f Y (y 0 ) ≠ 0.
f(x, y) = f Y (y|X = x)f pr (x) = f X (x|Y = y)f Y (y)
f X (x|Y = y 0 ) = f Y (y 0 |X = x)f pr (x)
f Y (y 0 )
Määritelmä 18. Tuntemattomatonta mallintavan satunnaisvektorin X : Ω →
R n posterioritodennäköisyystiheysfunktio, kun Y = y 0 on annettu, on
siinä tapauksessa, että f Y (y 0 ) ≠ 0.
f post (x) := f Y (y 0 |X = x)f pr (x)
,
f Y (y 0 )
Esimerkki 15. Oletetaan, että häiriö ε ∼ N(0, C ε ), tuntematon X ∼ N(0, C X ),
tuntematon ja häiriö ovat riippumattomia, F : R n → R m on lineaarinen ja
y 0 = Fx 0 + ǫ 0 on näyte satunnaismuuttujasta Y = FX + ε. Silloin
1
f Y (y|X = x) = √
(2π)m det(C ε ) e− 1 2 (y−Fx)T C −1
ε
(y−Fx)
ja posterioritntf on
f post (x) = C y0 e −1 2 (y0−Fx)T Cε
−1 (y0−Fx) e −1 2 xT C −1
X x ,
missä C y on normitusvakio. Tarkastellaan eksponenttia:
− 1 2 (y 0 − Fx) T Cε
−1 (y 0 − Fx) − 1 2 xT C −1
X x
= −1 2 yT 0 Cε
−1 y 0 + 1 2 xT F T Cε −1 y 0
Merkitään
C post = ( F T C −1
ε
ja täydennetään eksponentti neliöksi
+ 1 2 yT 0 C −1
ε
F + C −1 ) −1
X
Fx − 1 2 xT ( F T C −1
ε
F + C −1 )
X x.
− 1 2 (y 0 − Fx) T Cε
−1 (y 0 − Fx) − 1 2 xT C −1
X x
= −1 2 (yT 0 C−1 ε y 0 ) + 1 2 xT Cpost −1 C postF T Cε −1 y 0
+ 1 2 yT 0 C−1 ε FC post Cpost −1 x − 1 2 xT Cpost −1 x
= − 1 2 (yT 0 C−1 ε y 0 ) − 1 2 (x − m post) T Cpost(x −1 − m post )
+ 1 2 mT postC −1
postm post
56