Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
4.1.6 Satunnaisvektorien muunnokset<br />
Lause 7. Olkoon G : R n → R m on jatkuva funktio ja X : Ω → R n satunnaisvektori.<br />
Silloin G(X) on myös satunnaisvektori.<br />
Todistus. Meidän tarvitsee näyttää vain, että avoimen joukon B ∈ R m alkukuva<br />
G −1 (B) on avoin. Muille Borel-joukoille tulos seuraa sigma-algebran ominaisuuksien<br />
perusteella<br />
Okoon x ∈ G −1 (B), jolloin G(x) ∈ B. Joukon B avoimuuden nojalla löytyy<br />
ǫ > 0, jolla B(G(x), ǫ) ⊂ B. Koska F on jatkuva, niin on olemassa δ > 0, jolla<br />
|G(x) − G(y)| < ǫ kun |x − y| < δ. Siis G(B(x, δ)) ⊂ B(G(x), ǫ) ⊂ B, jolloin<br />
B(x, δ) ⊂ G −1 (B). Tämä todistaa, että joukko G −1 (B) on avoin.<br />
Esimerkki 14. Olkoon X : Ω → R n ja ε : Ω → R m satunnaisvektoreita.<br />
Seuraavat ovat myös satunnaisvektoreita<br />
1. aX, a ∈ R<br />
2. X + a , a ∈ R n<br />
3. ‖X‖ (=satunnaismuuttuja)<br />
4. Y = F(X) + ε, kun F : R n → R m jatkuva.<br />
Muistetaan, että muuttujanvaihto moniulotteisessa integraalissa voidaan tehdä<br />
Jakobin determinantin avulla. Jos f : R n → R on jatkuva funktio, U ⊂ R n<br />
avoin kuutio ja H : U → R n injektiivinen C 1 -funktio, jonka Jakobin matriisin<br />
determinantti ei häviä, niin<br />
∫ ∫<br />
f(x)dx =<br />
H(B)<br />
(JH(y)) ij = ∂H i<br />
∂y j<br />
(y), i, j = 1, ..., n.<br />
B<br />
f(H(y))| det(JH(y))|dy,<br />
kaikilla avoimilla tai suljetuilla kuutioilla B ⊂ U.<br />
Jos satunnaisvektorilla X on jatkuva todennäköisyystiheysfunktio f X , niin<br />
satunnaisvektorin aX, a > 0, tntf on x ↦→ 1<br />
a<br />
f n X (x/a), sillä muuttujanvaihdolla<br />
x = H(y) := y/a nähdään että<br />
P(aX ∈ B) = P(X ∈ 1 a B) = ∫<br />
H(B)<br />
∫<br />
f X (x)dx =<br />
B<br />
f X (y/a) 1<br />
a n dy<br />
Samoin satunnaisvektorin X + a, missä a ∈ R n tntf on f X (x − a), sillä muuttujanvaihdolla<br />
x = y − a =: H(y) nähdään. että<br />
∫<br />
∫<br />
P(X + a ∈ B) = P(X ∈ B − a) = f X (x)dx = f X (y − a)dy.<br />
H(B)<br />
Korollaari 4. Olkoon X ja Y kaksi riippumatonta satunnaisvektoria, joilla on<br />
tn. tiheysfunktiot f X ja f Y . Satunnaisvektorin Z = X + Y todennäköisyystiheysfunktio<br />
on<br />
f Z (z) =<br />
∫<br />
f X (z − y)f Y (y)dy =<br />
R n ∫<br />
f Y (z − x)f X (x)dx.<br />
R n<br />
50<br />
B