Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

4.1.6 Satunnaisvektorien muunnokset
Lause 7. Olkoon G : R n → R m on jatkuva funktio ja X : Ω → R n satunnaisvektori.
Silloin G(X) on myös satunnaisvektori.
Todistus. Meidän tarvitsee näyttää vain, että avoimen joukon B ∈ R m alkukuva
G −1 (B) on avoin. Muille Borel-joukoille tulos seuraa sigma-algebran ominaisuuksien
perusteella
Okoon x ∈ G −1 (B), jolloin G(x) ∈ B. Joukon B avoimuuden nojalla löytyy
ǫ > 0, jolla B(G(x), ǫ) ⊂ B. Koska F on jatkuva, niin on olemassa δ > 0, jolla
|G(x) − G(y)| < ǫ kun |x − y| < δ. Siis G(B(x, δ)) ⊂ B(G(x), ǫ) ⊂ B, jolloin
B(x, δ) ⊂ G −1 (B). Tämä todistaa, että joukko G −1 (B) on avoin.
Esimerkki 14. Olkoon X : Ω → R n ja ε : Ω → R m satunnaisvektoreita.
Seuraavat ovat myös satunnaisvektoreita
1. aX, a ∈ R
2. X + a , a ∈ R n
3. ‖X‖ (=satunnaismuuttuja)
4. Y = F(X) + ε, kun F : R n → R m jatkuva.
Muistetaan, että muuttujanvaihto moniulotteisessa integraalissa voidaan tehdä
Jakobin determinantin avulla. Jos f : R n → R on jatkuva funktio, U ⊂ R n
avoin kuutio ja H : U → R n injektiivinen C 1 -funktio, jonka Jakobin matriisin
determinantti ei häviä, niin
∫ ∫
f(x)dx =
H(B)
(JH(y)) ij = ∂H i
∂y j
(y), i, j = 1, ..., n.
B
f(H(y))| det(JH(y))|dy,
kaikilla avoimilla tai suljetuilla kuutioilla B ⊂ U.
Jos satunnaisvektorilla X on jatkuva todennäköisyystiheysfunktio f X , niin
satunnaisvektorin aX, a > 0, tntf on x ↦→ 1
a
f n X (x/a), sillä muuttujanvaihdolla
x = H(y) := y/a nähdään että
P(aX ∈ B) = P(X ∈ 1 a B) = ∫
H(B)
∫
f X (x)dx =
B
f X (y/a) 1
a n dy
Samoin satunnaisvektorin X + a, missä a ∈ R n tntf on f X (x − a), sillä muuttujanvaihdolla
x = y − a =: H(y) nähdään. että
∫
∫
P(X + a ∈ B) = P(X ∈ B − a) = f X (x)dx = f X (y − a)dy.
H(B)
Korollaari 4. Olkoon X ja Y kaksi riippumatonta satunnaisvektoria, joilla on
tn. tiheysfunktiot f X ja f Y . Satunnaisvektorin Z = X + Y todennäköisyystiheysfunktio
on
f Z (z) =
∫
f X (z − y)f Y (y)dy =
R n ∫
f Y (z − x)f X (x)dx.
R n
50
B