Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Olkoon f X (x|Y = y) satunnaisvektorin X ehdollinen tntf ehdolla Y = y.<br />
Satunnaisvektorin X ehdollinen jakauma ehdolla Y = y on<br />
∫<br />
P(X ∈ B 1 |Y = y) = f X (x|Y = y)dx<br />
B 1<br />
Yllä olevan perusteella ehdolinen jakauma toteuttaa kokonaistodennäköisyyden<br />
kaavan<br />
∫<br />
P((X, Y ) ∈ B 1 × B 2 ) = P(X ∈ B 1 |Y = y)f Y (y)dy<br />
B 2<br />
riittävän säännöllisillä todennäköisyystiheysfunktioilla ja riittävän säännöllisillä<br />
joukoilla B 1 ⊂ R n ja B 2 ⊂ R m (esim. suljetut kuutiot). Kokonaistodennäköisyyden<br />
kaava on totta niukemmillakin säännöllisyysoletuksilla, mutta tämän<br />
havaitseminen vaatii mittateoreettisen lähestymistavan ehdollisiin todennäköisyyksiin.<br />
Huomautus 8. Jos satunnaismuuttujalla X ja satunnaismuutujalla Y on todennäköisyystiheysfunktio,<br />
niin satunnaisvektorilla (X, Y ) ei välttämättä ole<br />
todennäköisyystiheysfunktiota. Esimerkiksi, jos X on satunnaismuuttuja jolla<br />
on tn. tiheysfunktio f X : R → [0, ∞), niin satunnaisvektorilla (X, X) ei ole todennäköisyystiheysfunktiota.<br />
Osoitamme tämän tekemällä vastaoletuksen: oletetaan<br />
että satunnaisvektorilla (X, X) on tiheysfunktio f (X,X) (x, y). Merkitään<br />
B = {(x, y) ∈ R n × R n : x ≠ y} (on Borel-joukko). Silloin P((X, X) ∈ B) = 0<br />
koska (X, X) /∈ B. Tästä seuraisi että<br />
∫<br />
0 = P((X, X) ∈ B) = f (X,X) (x, y)dxdy<br />
=<br />
∫ ∞<br />
x=−∞<br />
mikä on mahdotonta.<br />
B<br />
(∫ x<br />
f (X,X) (x, y)dy +<br />
y=−∞<br />
∫ ∞<br />
y=x<br />
)<br />
f (X,X) (x, y)dy dx = 1,<br />
Huomautus 9. Emme voi laskea satunnaismuuttujan X ehdollista jakaumaa<br />
ehdolla X = x 0 käyttäen kaavaa (4.1), sillä satunnaisvektorilla (X, X) ei ole todennäköisyystiheysfunktiota<br />
yllä olevan huomautuksen nojalla. Vektorin (X, X)<br />
jakauma kuitenkin voidaan määrätä satunnaismuutujan X tn. tiheysfunktion<br />
avulla, sillä<br />
∫<br />
P((X, X) ∈ B 1 × B 2 ) = P(X ∈ B 1 ∩ B 2 ) = f X (x)dx.<br />
B 1∩B 2<br />
Jos haluamme, että kokonaistodennäköisyyden kaava pätee, niin tulisi olla<br />
∫<br />
∫<br />
f X (x)dx = P((X, X) ∈ B 1 × B 2 ) = P(X ∈ B 1 |X = x)f X (x)dx,<br />
B 1∩B 2 B 2<br />
mikä on mahdollista kun P(X ∈ B 1 |X = x 0 ) = 1 B1 (x 0 ). Erityisesti P(X ∈<br />
{x 0 }|X = x 0 ) = 1 eli X ehdolla X = x 0 on x 0 kuten voisi kuvitellakin. Tämän<br />
tuloksen vahvistaa ehdollisten todennäköisyyksien mittateoreettinen käsittely,<br />
mutta tarkempi todistus sivuutetaan tällä kurssilla.<br />
Sivuutamme myös seuraavan tuloksen todistuksen.<br />
Lause 6. Olkoon X R n -arvoinen satunnaisvektori, joka on riippumaton R n -<br />
arvoisesta satunnaisvektorista Y , jolla on todennäköisyystiheysfunktio.<br />
Satunnaisvektorin X + Y ehdollinen tntf ehdolla X = x 0 on sama kuin<br />
satunnaisvektorin x 0 + Y tntf.<br />
49