Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

Olkoon f X (x|Y = y) satunnaisvektorin X ehdollinen tntf ehdolla Y = y.
Satunnaisvektorin X ehdollinen jakauma ehdolla Y = y on
∫
P(X ∈ B 1 |Y = y) = f X (x|Y = y)dx
B 1
Yllä olevan perusteella ehdolinen jakauma toteuttaa kokonaistodennäköisyyden
kaavan
∫
P((X, Y ) ∈ B 1 × B 2 ) = P(X ∈ B 1 |Y = y)f Y (y)dy
B 2
riittävän säännöllisillä todennäköisyystiheysfunktioilla ja riittävän säännöllisillä
joukoilla B 1 ⊂ R n ja B 2 ⊂ R m (esim. suljetut kuutiot). Kokonaistodennäköisyyden
kaava on totta niukemmillakin säännöllisyysoletuksilla, mutta tämän
havaitseminen vaatii mittateoreettisen lähestymistavan ehdollisiin todennäköisyyksiin.
Huomautus 8. Jos satunnaismuuttujalla X ja satunnaismuutujalla Y on todennäköisyystiheysfunktio,
niin satunnaisvektorilla (X, Y ) ei välttämättä ole
todennäköisyystiheysfunktiota. Esimerkiksi, jos X on satunnaismuuttuja jolla
on tn. tiheysfunktio f X : R → [0, ∞), niin satunnaisvektorilla (X, X) ei ole todennäköisyystiheysfunktiota.
Osoitamme tämän tekemällä vastaoletuksen: oletetaan
että satunnaisvektorilla (X, X) on tiheysfunktio f (X,X) (x, y). Merkitään
B = {(x, y) ∈ R n × R n : x ≠ y} (on Borel-joukko). Silloin P((X, X) ∈ B) = 0
koska (X, X) /∈ B. Tästä seuraisi että
∫
0 = P((X, X) ∈ B) = f (X,X) (x, y)dxdy
=
∫ ∞
x=−∞
mikä on mahdotonta.
B
(∫ x
f (X,X) (x, y)dy +
y=−∞
∫ ∞
y=x
)
f (X,X) (x, y)dy dx = 1,
Huomautus 9. Emme voi laskea satunnaismuuttujan X ehdollista jakaumaa
ehdolla X = x 0 käyttäen kaavaa (4.1), sillä satunnaisvektorilla (X, X) ei ole todennäköisyystiheysfunktiota
yllä olevan huomautuksen nojalla. Vektorin (X, X)
jakauma kuitenkin voidaan määrätä satunnaismuutujan X tn. tiheysfunktion
avulla, sillä
∫
P((X, X) ∈ B 1 × B 2 ) = P(X ∈ B 1 ∩ B 2 ) = f X (x)dx.
B 1∩B 2
Jos haluamme, että kokonaistodennäköisyyden kaava pätee, niin tulisi olla
∫
∫
f X (x)dx = P((X, X) ∈ B 1 × B 2 ) = P(X ∈ B 1 |X = x)f X (x)dx,
B 1∩B 2 B 2
mikä on mahdollista kun P(X ∈ B 1 |X = x 0 ) = 1 B1 (x 0 ). Erityisesti P(X ∈
{x 0 }|X = x 0 ) = 1 eli X ehdolla X = x 0 on x 0 kuten voisi kuvitellakin. Tämän
tuloksen vahvistaa ehdollisten todennäköisyyksien mittateoreettinen käsittely,
mutta tarkempi todistus sivuutetaan tällä kurssilla.
Sivuutamme myös seuraavan tuloksen todistuksen.
Lause 6. Olkoon X R n -arvoinen satunnaisvektori, joka on riippumaton R n -
arvoisesta satunnaisvektorista Y , jolla on todennäköisyystiheysfunktio.
Satunnaisvektorin X + Y ehdollinen tntf ehdolla X = x 0 on sama kuin
satunnaisvektorin x 0 + Y tntf.
49