Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Huomautus 5. Kovarianssimatriisi C X on aina symmetrinen ja sen ominaisarvot<br />
ovat ei-negatiivisia. Todellakin,<br />
(C X ) ij =<br />
∫<br />
(x i −m i )(x j −m j )f X (x)dx =<br />
R n ∫<br />
(x j −m j )(x i −m i )f X (x)dx = (C X ) ji<br />
R n<br />
ja jos u on ominaisvektori jolle C X u = λu ja ‖u‖ = 1, niin<br />
⎛ ⎞<br />
n∑ n∑<br />
λ = (C X u, u) = ⎝ (C X ) ij u j<br />
⎠u i<br />
=<br />
=<br />
=<br />
n∑<br />
∫<br />
i,j=1<br />
i=1<br />
missä g(x) = ∑ n<br />
i=1 (x i − m i )u i .<br />
j=1<br />
R n (x i − m i )u i (x j − m j )u j f X (x)dx<br />
∫ ( n<br />
) ⎛ ⎞<br />
∑<br />
n∑<br />
(x i − m i )u i<br />
⎝ (x j − m j )u j<br />
⎠f X (x)dx<br />
R n i=1<br />
j=1<br />
∫<br />
g(x) 2 f X (x)dx ≥ 0,<br />
R n<br />
Määritelmä 11. Olkoot X : Ω → R n ja Y : Ω → R m satunnaisvektoreita,<br />
joiden yhteistodennäköisyystiheysfunktio on f (X,Y ) : R n+m → R ja odotusarvot<br />
E[X] = m X ja E[Y ] = m Y . Satunnaisvektorien X ja Y ristikovarianssimatriisi<br />
(eng. cross-covariance matrix) on matriisi C XY ∈ R n×m , jonka elementit ovat<br />
(∫<br />
)<br />
(C XY ) ij = (x i − (m X ) i )(y j − (m Y ) j )f (X,Y (x, y)dx dy, i = 1, .., n j = 1, .., m<br />
∫R m R n<br />
mikäli nämä integraalit ovat olemassa.<br />
Huomautus 6. Ristikovarianssimatriisille pätee C T XY = C Y X.<br />
4.1.5 Ehdolliset jakaumat<br />
Määritelmä 12. Olkoot X : Ω → R n ja Y : Ω → R m satunnaisvektoreita,<br />
joiden yhteistntf. on f (X,Y ) : R n × R m → R ja reunatntf. f Y (y 0 ) > 0 pisteessä<br />
y 0 ∈ R m . Satunnaismuuttujan X ehdollinen todennäköisyystiheysfunktio<br />
ehdolla Y = y 0 (eng. conditional probability density function) on kuvaus<br />
R n ∋ x ↦→ f X (x|Y = y 0 ) = f (X,Y )(x, y 0 )<br />
. (4.1)<br />
f Y (y 0 )<br />
Määritelmä 13. Olkoot X : Ω → R n ja Y : Ω → R m satunnaisvektoreita,<br />
joiden yhteistntf. on f (X,Y ) : R n × R m → R ja reunatntf. f Y (y 0 ) > 0 pisteessä<br />
y 0 ∈ R m . Satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo ehdolla Y = y 0 (eng.<br />
conditional expectation) on vektori<br />
∫<br />
E[X|Y = y 0 ] = xf X (x|Y = y 0 )dx,<br />
R n<br />
mikäli integraali on olemassa.<br />
47