Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

Huomautus 5. Kovarianssimatriisi C X on aina symmetrinen ja sen ominaisarvot
ovat ei-negatiivisia. Todellakin,
(C X ) ij =
∫
(x i −m i )(x j −m j )f X (x)dx =
R n ∫
(x j −m j )(x i −m i )f X (x)dx = (C X ) ji
R n
ja jos u on ominaisvektori jolle C X u = λu ja ‖u‖ = 1, niin
⎛ ⎞
n∑ n∑
λ = (C X u, u) = ⎝ (C X ) ij u j
⎠u i
=
=
=
n∑
∫
i,j=1
i=1
missä g(x) = ∑ n
i=1 (x i − m i )u i .
j=1
R n (x i − m i )u i (x j − m j )u j f X (x)dx
∫ ( n
) ⎛ ⎞
∑
n∑
(x i − m i )u i
⎝ (x j − m j )u j
⎠f X (x)dx
R n i=1
j=1
∫
g(x) 2 f X (x)dx ≥ 0,
R n
Määritelmä 11. Olkoot X : Ω → R n ja Y : Ω → R m satunnaisvektoreita,
joiden yhteistodennäköisyystiheysfunktio on f (X,Y ) : R n+m → R ja odotusarvot
E[X] = m X ja E[Y ] = m Y . Satunnaisvektorien X ja Y ristikovarianssimatriisi
(eng. cross-covariance matrix) on matriisi C XY ∈ R n×m , jonka elementit ovat
(∫
)
(C XY ) ij = (x i − (m X ) i )(y j − (m Y ) j )f (X,Y (x, y)dx dy, i = 1, .., n j = 1, .., m
∫R m R n
mikäli nämä integraalit ovat olemassa.
Huomautus 6. Ristikovarianssimatriisille pätee C T XY = C Y X.
4.1.5 Ehdolliset jakaumat
Määritelmä 12. Olkoot X : Ω → R n ja Y : Ω → R m satunnaisvektoreita,
joiden yhteistntf. on f (X,Y ) : R n × R m → R ja reunatntf. f Y (y 0 ) > 0 pisteessä
y 0 ∈ R m . Satunnaismuuttujan X ehdollinen todennäköisyystiheysfunktio
ehdolla Y = y 0 (eng. conditional probability density function) on kuvaus
R n ∋ x ↦→ f X (x|Y = y 0 ) = f (X,Y )(x, y 0 )
. (4.1)
f Y (y 0 )
Määritelmä 13. Olkoot X : Ω → R n ja Y : Ω → R m satunnaisvektoreita,
joiden yhteistntf. on f (X,Y ) : R n × R m → R ja reunatntf. f Y (y 0 ) > 0 pisteessä
y 0 ∈ R m . Satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo ehdolla Y = y 0 (eng.
conditional expectation) on vektori
∫
E[X|Y = y 0 ] = xf X (x|Y = y 0 )dx,
R n
mikäli integraali on olemassa.
47