Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
4.1.1 Todennäköisyyslaskennan mittateoreettinen pohja<br />
Olkoon Ω perusjoukko, jonka alkiot ω ∈ Ω ovat alkeistapahtumia. Olkoon Σ<br />
kokoelma perusjoukon joukkoja joka muodostaa σ-algebran eli<br />
1. Ω ∈ Σ<br />
2. Jos A ∈ Σ, niin A C ∈ Σ.<br />
3. Jos A i ∈ Σ kun i ∈ N, niin ∪ ∞ i=1 A i ∈ Σ.<br />
Joukkoja A, B ∈ Σ nimitetään tapahtumiksi (eng. event).<br />
• Tapahtumien yhdiste A∪B tarkoittaa että joko tapahtuma A tai B sattuu<br />
(tai molemmat).<br />
• Joukkojen leikkaus A∩B tarkoittaa että molemmat tapahtumat sattuvat.<br />
• Joukon komplementti A C = Ω\A tarkoittaa, että tapahtuma A ei satu.<br />
Määritelmä 6. Kuvaus P : Σ → [0, 1] on todennäköisyysmitta (eng. probability<br />
measure), jos<br />
1. P(Ω) = 1<br />
2. Jos joukot A i ∈ Σ, i ∈ N, ovat sellaisia että A i ∩ A j = ∅ kaikiilla i ≠ j,<br />
niin P(∪ ∞ i=1 A i) = ∑ ∞<br />
i=1 P(A i) (täysadditiivisuus).<br />
Lukua P(A) kutsutaan tapahtuman A ∈ Σ todennäköisyydeksi.<br />
Kaksi tapahtumaa A ja B ∈ Σ ovat riippumattomia (eng. independent/statistically<br />
independent), jos P(A ∩ B) = P(A)P(B).<br />
4.1.2 Satunnaismuuttujista<br />
Tilastollista inversio-ongelmaa varten palautamme mieleen satunnaisvektorin<br />
määritelmän.<br />
Avaruuden R n Borel-joukkojen luokka on pienin sigma-algebra B(R n ) joka<br />
sisältää avoimet joukot.<br />
Määritelmä 7. Satunnaismuuttuja (eng. random variable) X on kuvaus X :<br />
Ω ↦→ R, jolle Borel-joukkojen alkukuvat ovat tapahtumia eli X −1 (B) ∈ Σ<br />
kun B ∈ B(R). Satunnaismuuttujan X jakauma (eng. distribution) on kuvaus<br />
B ↦→ P(X ∈ B) Borel-joukoilta välille [0, 1].<br />
Satunnaisvektori (eng. random vector) X = (X 1 , ..., X n ) on kuvaus X :<br />
Ω ↦→ R n , jolle avaruuden R n Borel-joukkojen B alkukuvat ovat tapahtumia<br />
eli X −1 (B) ∈ Σ kun B ∈ B(R n ). Satunnaisvektorin X jakauma on kuvaus<br />
B ↦→ P(X ∈ B) avaruuden R n Borel-joukoilta välille [0, 1].<br />
Sivuutamme seuraavan lauseen todistuksen, joka liittyy avaruuden R n Boreljoukkojen<br />
ominaisuuksiin.<br />
Lause 4. Kuvaus X : Ω → R n on satunnaisvektori jos ja vain jos kuvauksen<br />
X = (X 1 , ..., X n ) komponentit X i , i = 1, ..., n ovat satunnaismuuttujia.<br />
44