Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

4.1.1 Todennäköisyyslaskennan mittateoreettinen pohja
Olkoon Ω perusjoukko, jonka alkiot ω ∈ Ω ovat alkeistapahtumia. Olkoon Σ
kokoelma perusjoukon joukkoja joka muodostaa σ-algebran eli
1. Ω ∈ Σ
2. Jos A ∈ Σ, niin A C ∈ Σ.
3. Jos A i ∈ Σ kun i ∈ N, niin ∪ ∞ i=1 A i ∈ Σ.
Joukkoja A, B ∈ Σ nimitetään tapahtumiksi (eng. event).
• Tapahtumien yhdiste A∪B tarkoittaa että joko tapahtuma A tai B sattuu
(tai molemmat).
• Joukkojen leikkaus A∩B tarkoittaa että molemmat tapahtumat sattuvat.
• Joukon komplementti A C = Ω\A tarkoittaa, että tapahtuma A ei satu.
Määritelmä 6. Kuvaus P : Σ → [0, 1] on todennäköisyysmitta (eng. probability
measure), jos
1. P(Ω) = 1
2. Jos joukot A i ∈ Σ, i ∈ N, ovat sellaisia että A i ∩ A j = ∅ kaikiilla i ≠ j,
niin P(∪ ∞ i=1 A i) = ∑ ∞
i=1 P(A i) (täysadditiivisuus).
Lukua P(A) kutsutaan tapahtuman A ∈ Σ todennäköisyydeksi.
Kaksi tapahtumaa A ja B ∈ Σ ovat riippumattomia (eng. independent/statistically
independent), jos P(A ∩ B) = P(A)P(B).
4.1.2 Satunnaismuuttujista
Tilastollista inversio-ongelmaa varten palautamme mieleen satunnaisvektorin
määritelmän.
Avaruuden R n Borel-joukkojen luokka on pienin sigma-algebra B(R n ) joka
sisältää avoimet joukot.
Määritelmä 7. Satunnaismuuttuja (eng. random variable) X on kuvaus X :
Ω ↦→ R, jolle Borel-joukkojen alkukuvat ovat tapahtumia eli X −1 (B) ∈ Σ
kun B ∈ B(R). Satunnaismuuttujan X jakauma (eng. distribution) on kuvaus
B ↦→ P(X ∈ B) Borel-joukoilta välille [0, 1].
Satunnaisvektori (eng. random vector) X = (X 1 , ..., X n ) on kuvaus X :
Ω ↦→ R n , jolle avaruuden R n Borel-joukkojen B alkukuvat ovat tapahtumia
eli X −1 (B) ∈ Σ kun B ∈ B(R n ). Satunnaisvektorin X jakauma on kuvaus
B ↦→ P(X ∈ B) avaruuden R n Borel-joukoilta välille [0, 1].
Sivuutamme seuraavan lauseen todistuksen, joka liittyy avaruuden R n Boreljoukkojen
ominaisuuksiin.
Lause 4. Kuvaus X : Ω → R n on satunnaisvektori jos ja vain jos kuvauksen
X = (X 1 , ..., X n ) komponentit X i , i = 1, ..., n ovat satunnaismuuttujia.
44