Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Sisältö<br />
1 Suorat ongelmat ja inversio-ongelmat 1<br />
1.1 Mitä inversio-ongelmat ovat? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br />
1.2 Esimerkkejä inversio-ongelmista ja niiden tyypillisistä ominaisuuksista<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.3 <strong>Inversio</strong>-<strong>ongelmien</strong> luokittelua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
1.4 Yhteenveto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2 Hyvin ja huonosti asetetut inversio-ongelmat 17<br />
2.1 Hyvin asetetut inversio-ongelmat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2.2 Abstrakti kuvailu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
2.3 Huonosti asetetut inversio-ongelmat . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
2.4 Ratkaisun häiriöalttius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
2.5 Yhteenveto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
2.6 Liite: Käänteismatriisin singulaariarvot . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio 31<br />
3.1 Pienimmän neliösumman menetelmä . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
3.2 Tikhonovin regularisaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
3.3 Yhteenveto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
4 Tilastolliset inversio-ongelmat 43<br />
4.1 Lyhyesti todennäköisyyslaskennasta . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
4.1.1 Todennäköisyyslaskennan mittateoreettinen pohja . . . . 44<br />
4.1.2 Satunnaismuuttujista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
4.1.3 Todennäköisyyslaskennan tulkinnat . . . . . . . . . . . . 45<br />
4.1.4 Tiheysfunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
4.1.5 Ehdolliset jakaumat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
4.1.6 Satunnaisvektorien muunnokset . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
4.1.7 Gaussiset jakaumat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
4.2 Moniulotteinen Riemann-integraali . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
4.3 Tilastollinen inversio-ongelma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
4.3.1 Bayesian kaava. Priori- ja posteriorijakaumat . . . . . . . 55<br />
4.3.2 Uskottavuusfunktio f Y (y|X = x) . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
4.3.3 Priori f pr (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
4.4 Erilaisia priorijakaumia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
4.5 Posteriorijakauman tutkiminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
4.5.1 Päätösteoriaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
4.5.2 Huonosti asetetut ja häiriöherkät lineaariset ongelmat . . 74<br />
iii