Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

Sisältö
1 Suorat ongelmat ja inversio-ongelmat 1
1.1 Mitä inversio-ongelmat ovat? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Esimerkkejä inversio-ongelmista ja niiden tyypillisistä ominaisuuksista
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Inversio-ongelmien luokittelua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Yhteenveto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Hyvin ja huonosti asetetut inversio-ongelmat 17
2.1 Hyvin asetetut inversio-ongelmat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Abstrakti kuvailu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Huonosti asetetut inversio-ongelmat . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Ratkaisun häiriöalttius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Yhteenveto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Liite: Käänteismatriisin singulaariarvot . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio 31
3.1 Pienimmän neliösumman menetelmä . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Tikhonovin regularisaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Yhteenveto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Tilastolliset inversio-ongelmat 43
4.1 Lyhyesti todennäköisyyslaskennasta . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.1 Todennäköisyyslaskennan mittateoreettinen pohja . . . . 44
4.1.2 Satunnaismuuttujista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.3 Todennäköisyyslaskennan tulkinnat . . . . . . . . . . . . 45
4.1.4 Tiheysfunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.5 Ehdolliset jakaumat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.6 Satunnaisvektorien muunnokset . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.7 Gaussiset jakaumat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Moniulotteinen Riemann-integraali . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Tilastollinen inversio-ongelma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.1 Bayesian kaava. Priori- ja posteriorijakaumat . . . . . . . 55
4.3.2 Uskottavuusfunktio f Y (y|X = x) . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.3 Priori f pr (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 Erilaisia priorijakaumia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5 Posteriorijakauman tutkiminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5.1 Päätösteoriaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5.2 Huonosti asetetut ja häiriöherkät lineaariset ongelmat . . 74
iii