Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

ja
Totesimme Esimerkissä 7, että
y = Ax + ε = ( 14.1 −13.1 −65.9 ) T
.
A −1 (Ax + ǫ) = x + ( −168 3
10
184 3
10
6
10) T
.
Ratkaistaan ongelma y = Ax + ε Tikhonovin regularisaatiolla. Lasketaan ensin
⎛ ⎞
11 10 14
A T A = ⎝12 11 −13⎠
14 13 −66
Valitaan α = 0.01 ja lasketaan
(A T A + αI) −1 A T y =
≈
⎞ ⎛
⎞
11 10 14 461 424 −926
⎝12 11 −13⎠ = ⎝ 424 390 −861⎠
14 13 −66 −926 −861 4721
T ⎛
⎛
⎞
461.01 424 −926
⎝ 424 390.01 −861 ⎠
−926 −861 4721.01
⎛
⎝ −0.003 ⎞
0.006 ⎠ .
1.001
⎞ ⎛
11 12 14
⎝10 14 13 ⎠ ⎝ 14.1 ⎞
−13.1⎠
14 −13 −66 −65.9
−1 ⎛
Lähdetään selvittelemään kuinka parametri α vaikuttaa ratkaisuun. Voimme
aluksi kysyä mitä ratkaisulle ˆx α tapahtuu, jos α → 0 tai α → ∞. Tällöin meidän
tulee laskea raja-arvot
lim
α→0+ (AT A + αI) −1 A T y ja lim
α→0+ (AT A + αI) −1 A T y,
jos ne ovat olemassa.
Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että nolla ei ole matriisin A T A ominaisarvo.
Silloin käänteismatriisi (A T A) −1 on olemassa ja voimme ryhtyä tutkimaan
erotusta
‖(A T A + αI) −1 A T y − (A T A) −1 A T y‖.
Kahden käänteismatriisin erotus voidaan kirjoittaa muodossa
Erityisesti
Silloin
B −1 − C −1 = B −1 (I − BC −1 ) = B −1 (C − B)C −1 .
(A T A + αI) −1 − (A T A) −1 = (A T A + αI) −1 (αI)(A T A) −1 .
‖(A T A + αI) −1 A T y − (A T A) −1 A T y‖ ≤ ‖(A T A + αI) −1 ‖α‖(A T A) −1 A T y‖.
Muistetaan, että ‖(A T A+αI) −1 ‖ on matriisin (A T A+αI) pienimmän ominaisarvon
λ min käänteisluku. Olkoon u min pienintä ominaisarvoa vastaava ominaisvektori,
jolle ‖u min ‖ = 1. Voimme arvioida pienintä ominaisarvoa seuraavasti:
λ min = ((A T A + αI)u min , u min ) = ((A T A + αI)u min , u min ) ≥ (A T Au min , u min )
≥
λ min (A T A).
37