Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

annettu data.
Tikhonovin regularisaatiossa (eng. Tikhonov’s regularization) yhtälön y =
Ax + ε likimääräisratkaisuksi ˆx otetaan Tikhonovin funktionaalin
missä α > 0, minimoija eli
L α (x) := ‖Ax − y‖ 2 + α‖x‖ 2 ,
ˆx α = argmin
x∈R n ‖Ax − y‖ 2 + α‖x‖ 2 .
Lause 3. Olkoon α > 0. Minimointiongelmalla
‖Aˆx − y‖ 2 + α‖x‖ 2 = min
x∈R n ‖Ax − y‖2 + α‖x‖ 2
on yksikäsitteinen ratkaisu ˆx α . Ratkaisu ˆx α on myös yhtälön
yksikäsitteinen ratkaisu.
(A T A + αI)ˆx α = A T y
Todistus. Kirjoitetaan Tikhonovin funktionaali muodossa
( ) ( ‖Ax − y‖ 2 + α‖x‖ 2 =
A
∥ √αI y ∥∥∥
2
x − ,
0)∥
joka johtaa pienimmän neliösumman minimointiin. Voimme käyttää Lausetta
2, jonka nojalla Tikhonovin funktionaalin minimoija on olemassa ja toteuttaa
yhtälön
( ) T ( ) ( ) T ( )
√αI
A
√αI
A A
ˆx = √αI y
0
eli
(A T A + αI)ˆx α = A T y.
Tämän yhtälön ratkaisu on yksikäsitteinen Korollaarin 2 nojalla, sillä matriisin
(
A
√αI
)
ydin sisältää vain nollavektorin, sillä jos
niin x = 0.
0 =
( ) ( )
√αI
A Ax
x = √ , αx
Esimerkki 12. Tarkastellaan edellisen luvun Esimerkin 7 matriisia
⎛ ⎞
11 10 14
A = ⎝12 11 −13⎠,
14 13 −66
jonka ehtoluku on luokka 10 5 .
Olkoon y = Ax+ε ∈ R 3 annettu. Tarkastellaan tilannetta, jossa tuntematon
x = (0, 0, 1) ja ǫ = (0.1, −0.1, 0.1). Silloin
Ax = ( 14 −13 −66 ) T
36