Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

Esimerkki 11. Oletetaan, että matriisilla A ∈ R m×n on singulaariarvohajotelma
A = UDV T , missä D ii = 0 kun i > r ja D ii > 0 kun i < r. Silloin
A T A = (UDV T ) T (UDV T ) = V D T DV T
ja diagonaalimatriisin D T D diagonaalielementit Dii 2 , i = 1, .., n ovat matriisin
A T A ominaisarvot.
Tällöin yhtälön y = Ax+ε pienimmän neliösumman ratkaisut ˆx = (ˆx 1 , ..., ˆx n )
ovat muotoa
ˆx k =
=
=
r∑
n∑
i=1 j=1
r∑
n∑
i=1 j=1
r∑
i=1
1
V ki
Dii
2 V ji (A T y) i + ˜x k
1
V ki
Dii
2 V ji (V D T U T y) j + ˜x k
V ki
1
D ii
(U T y) i + ˜x k ,
missä ˜x = (˜x 1 , .., ˜x n ) ∈ Ker(A).
Sijoitetaan tähän lausekkeeseen y = Ax + ε. Saamme
ˆx k =
r∑
i=1
= (Qx) k +
V ki
1
D ii
(U T UDV T x + U T ε) i + ˜x k
r∑
i=1
V ki
1
D ii
(U T ε) i + ˜x k
Mikäli matriisilla A T A on hyvin pieniä nollasta eroavia ominaisarvoja, niin häiriötermillä
ε on voimakas vaikutus ratkaisuun.
Yllä
r∑
(Qz) k = V ik (V i , z), z ∈ R n
i=1
määrittelee ortogonaalisen projektion aliavaruudelle Ker(A) ⊥ = R(A T ), sillä
vektorit V r+1 , ..., V n virittävät aliavaruuden Ker(A). (Todellakin, jos z ∈
Ker(A), niin
0 = Az = UDV T z.
Mikä tahansa avaruuden R n vektori voidaan esittää matriisin V pystyvektoreiden
muodostamassa kannassa. Erityisesti z = ∑ n
i=1 V i(V i , z). Koska U on
ortogonaalinen, on 0 = U T UDV T z = DV T z eli
r∑
0 = (DV T z, DV T z) ≥ min Dii
2 (V i , z) 2 .
i
Toisin sanoen elementit (V i , z) = 0 kun i = 1, .., r.)
3.2 Tikhonovin regularisaatio
Olkoon x ∈ R n tuntematon, A ∈ R m×n tunnettu matriisi ja
i=1
y = Ax + ε ∈ R m (3.3)
35