Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

ja
A T y =
⎛ ⎞
( ) 1 ( )
1 1 1 0
⎜3
⎟ 8
0 1 1 1 ⎝4⎠ = .
9
2
Saamme yhtälön ( ) ) (
3 2
(ˆx1 8
= ,
2 3 ˆx 2 9)
jonka ratkaisu on (ˆx 1 , ˆx 2 ) = ( 6 5 , 11 5 ).
Korollaari 3. Olkoon A ∈ R m×n . Olkoot λ i ja v i , missä i = 1, .., n, matriisin
A T A ominaisarvot ja niitä vastaavat ortonormeeratut ominaisvektorit. Yhtälön
y = Ax + ε pienimmän neliösumman ratkaisut ˆx = (ˆx 1 , ..., ˆx n ) ovat muotoa
ˆx k =
n∑
i,j=1
λ i ≠0
V ki
1
λ i
V ji (A T y) j + ˜x k , k = 1, ..., n
missä V = (v 1 , ..., v n ) ja ˜x = (˜x 1 , ..., ˜x n ) ∈ Ker(A).
Todistus. Olkoon ˆx annettua muotoa. Nyt A T A = V diag(λ 1 , ..., λ n )V T , jolloin
A T Aˆx = ( V diag(λ 1 , ..., λ n )V T)( V diag(min(0, 1 )
1
), ..., min(0, ))V T A T y.
λ 1 λ n
Olkoon ˜D sellainen diagonaalimatriisi, jolla
{
0 jos λ i = 0
˜D ii =
1 muulloin.
Koska R(A T ) = R(A T A), niin on olemassa sellainen x 0 ∈ R n jolle A T y =
A T Ax 0 . Erityisesti
A T Aˆx = V ˜DV T V diag(λ 1 , ..., λ n )P T x 0
= V ˜D diag(λ 1 , .., λ n )V T x 0 = A T y.
Täten x = ˆx on yhtälön A T Ax = A T y eräs ratkaisu. Muut ratkaisut saadaan
lisäämällä tähän ratkaisuun jokin vektori aliavaruudesta Ker(A T A) = Ker(A)
Määritelmä 5. Matriisin A ∈ C m×n singulaariarvohajotelma (eng. singular
value decomposition) on matriisin A esitys
A = UDV ∗ ,
missä U ∈ C m×m ja V ∈ C n×n ovat unitaarisia matriiseja sekä D ∈ R m×n on
muotoa
{√
λi (A
D ij =
∗ A), i = j
0, i ≠ j.
ja D 11 ≥ D 22 ≥ · · · ≥ D nn ≥ 0.
34