Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
ja<br />
A T y =<br />
⎛ ⎞<br />
( ) 1 ( )<br />
1 1 1 0<br />
⎜3<br />
⎟ 8<br />
0 1 1 1 ⎝4⎠ = .<br />
9<br />
2<br />
Saamme yhtälön ( ) ) (<br />
3 2<br />
(ˆx1 8<br />
= ,<br />
2 3 ˆx 2 9)<br />
jonka ratkaisu on (ˆx 1 , ˆx 2 ) = ( 6 5 , 11 5 ).<br />
Korollaari 3. Olkoon A ∈ R m×n . Olkoot λ i ja v i , missä i = 1, .., n, matriisin<br />
A T A ominaisarvot ja niitä vastaavat ortonormeeratut ominaisvektorit. Yhtälön<br />
y = Ax + ε pienimmän neliösumman ratkaisut ˆx = (ˆx 1 , ..., ˆx n ) ovat muotoa<br />
ˆx k =<br />
n∑<br />
i,j=1<br />
λ i ≠0<br />
V ki<br />
1<br />
λ i<br />
V ji (A T y) j + ˜x k , k = 1, ..., n<br />
missä V = (v 1 , ..., v n ) ja ˜x = (˜x 1 , ..., ˜x n ) ∈ Ker(A).<br />
Todistus. Olkoon ˆx annettua muotoa. Nyt A T A = V diag(λ 1 , ..., λ n )V T , jolloin<br />
A T Aˆx = ( V diag(λ 1 , ..., λ n )V T)( V diag(min(0, 1 )<br />
1<br />
), ..., min(0, ))V T A T y.<br />
λ 1 λ n<br />
Olkoon ˜D sellainen diagonaalimatriisi, jolla<br />
{<br />
0 jos λ i = 0<br />
˜D ii =<br />
1 muulloin.<br />
Koska R(A T ) = R(A T A), niin on olemassa sellainen x 0 ∈ R n jolle A T y =<br />
A T Ax 0 . Erityisesti<br />
A T Aˆx = V ˜DV T V diag(λ 1 , ..., λ n )P T x 0<br />
= V ˜D diag(λ 1 , .., λ n )V T x 0 = A T y.<br />
Täten x = ˆx on yhtälön A T Ax = A T y eräs ratkaisu. Muut ratkaisut saadaan<br />
lisäämällä tähän ratkaisuun jokin vektori aliavaruudesta Ker(A T A) = Ker(A)<br />
Määritelmä 5. Matriisin A ∈ C m×n singulaariarvohajotelma (eng. singular<br />
value decomposition) on matriisin A esitys<br />
A = UDV ∗ ,<br />
missä U ∈ C m×m ja V ∈ C n×n ovat unitaarisia matriiseja sekä D ∈ R m×n on<br />
muotoa<br />
{√<br />
λi (A<br />
D ij =<br />
∗ A), i = j<br />
0, i ≠ j.<br />
ja D 11 ≥ D 22 ≥ · · · ≥ D nn ≥ 0.<br />
34