Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
jokaisella z ∈ R n . Erityisesti kun z = x, saadaan ‖Ax‖ = 0 eli x ∈ KerA. Toisin<br />
sanoen Ker(A T A) ⊂ Ker(A). Siis Ker(A T A) = Ker(A), jolloin A T A on injektio<br />
jos ja vain jos A on injektio. Näytetään, että A T y ∈ R(A T A) Valitsemalla<br />
M = A sekä M = A T A lemmassa 4, saamme<br />
R(A T ) = Ker(A) ⊥ = Ker(A T A) ⊥ = R(A T A).<br />
Täten yhtälöllä A T Ax = A T y on vähintään yksi ratkaisu ja ratkaisu on yksikäsitteinen<br />
vain jos Ker(A) = {0}.<br />
Huomautus 2. Olkoon P : R m → R m ortogonaaliprojektio kuva-avaruudelle<br />
R(A) (jolloin P 2 = P, P T = P ja erityisesti PAx = Ax jokaisella x ∈ R n ).<br />
Yhtälön y = Ax + ε pienimmän neliösumman ratkaisu ˆx = ˆx(y) on itseasiassa<br />
yhtälön<br />
Py = Ax<br />
ratkaisu, sillä ortogonaaliprojektion P symmetrisyyden nojalla<br />
(Aˆx − Py, z) = (PAˆx − Py, z) = (Aˆx − y, Pz) = (Aˆx − y, Az ′ )<br />
= (A T Aˆx − A T y, z ′ ) = (A T y − A T y, z ′ ) = 0<br />
jokaisella z ∈ R m (huomaa, että koska Pz ∈ R(A), niin löytyy z ′ ∈ R n , jolle<br />
Az ′ = Pz).<br />
Yhtälöillä y = Ax+ε ja Py = PAx+Pε on samat pienimmän neliösumman<br />
ratkaisut. Tämä seuraa siitä, että A = PA, jolloin A T = A T P T ja<br />
A T y = A T Aˆx = A T P T PAx = A T P T y.<br />
Esimerkki 10. Tuntemattomasta x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 on saatu seuraavat häiriöiset<br />
mittaukset:<br />
1 = x 1 + e 1<br />
3 = x 1 + x 2 + e 2<br />
4 = x 1 + x 2 + e 3<br />
2 = x 2 + e 4 .<br />
Etsi likimääräisratkaisu käyttämällä pienimmän neliösumman menetelmää. Merkitään<br />
⎛ ⎞<br />
1 0<br />
A = ⎜1 1<br />
⎟<br />
⎝1 1⎠<br />
0 1<br />
ja y = (1, 3, 4, 2). Määrätään pienimmän neliösumman ratkaisu yhtälölle y =<br />
Ax + e. Lasketaan<br />
⎛ ⎞<br />
( ) 1 0 ( )<br />
A T 1 1 1 0<br />
A =<br />
⎜1 1<br />
⎟ 3 2<br />
0 1 1 1 ⎝1 1⎠ = 2 3<br />
0 1<br />
33