Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Lemma 4. Matriisille M ∈ R m×n pätee R(M T ) ⊥ = Ker(M) eli<br />
R n = R(M T ) ⊕ Ker(M).<br />
Todistus. Olkoon x ∈ R(M T ) ⊥ Jokaisella z ∈ R m pätee<br />
0 = (M T z, x) = (z, Mx)<br />
vain jos Mx = 0 eli x ∈ Ker(M). Siis R(M T ) ⊥ ⊂ Ker(M). Toisaalta, jos<br />
x ∈ Ker(M), niin<br />
(M T z, x) = (z, Mx) = 0<br />
jokaisella z ∈ R m , joten x ∈ R(M T ) ⊥ . Siis Ker(M) ⊂ R(M T ) ⊥ .<br />
Lause 2. Olkoon A ∈ R m×n ja y ∈ R m . Minimointiongelmalla<br />
on samat ratkaisut kuin yhtälöllä<br />
Todistus. Lasketaan ensin sisätulo<br />
ˆx = argmin<br />
x∈R n ‖Ax − y‖ 2<br />
A T Aˆx = A T y.<br />
f(x) = ‖Ax − y‖ 2 = (Ax − y, Ax − y)<br />
= (Ax, Ax) − (y, Ax) − (Ax, y) + (y, y)<br />
= (A T Ax, x) − 2(A T y, x) + (y, y).<br />
Funktionaalin f minimi, jos sellainen on , löytyy kriittisestä pisteestä. Lasketaan<br />
gradientin nollakohdat<br />
∇f(x) = ∇‖Ax − y‖ 2 = 2A T Ax − 2A T y = 0. (3.2)<br />
Olkoon ˆx gradientin nollakohta eli A T Aˆx = A T y. Tämä on minimikohta, sillä<br />
f(x) = ‖A(x − ˆx) + Aˆx − y‖ 2 = ‖A(x − ˆx)‖ 2 + 2(A(x − ˆx), Aˆx − y) + ‖Aˆx − y‖ 2<br />
= ‖A(x − ˆx)‖ 2 + 2(x − ˆx, A T Aˆx − A T y) + ‖Aˆx − y‖ 2<br />
= ‖A(x − ˆx)‖ 2 + ‖Aˆx − y‖ 2 .<br />
Korollaari 2. Olkoon A ∈ R m×n ja y ∈ R m . Minimointiongelmalla<br />
ˆx = argmin<br />
x∈R n ‖Ax − y‖ 2<br />
on olemassa ratkaisu ˆx. Ratkaisu on yksikäsitteinen vain jos Ker(A) = {0}.<br />
Todistus. Lauseen 2 nojalla minimointiongelma on ekivalentti yhtälön A T Aˆx =<br />
A T y kanssa. Tutkitaan yhtälön A T Ax = A T y yksikäsitteistä ratkeavuutta. Injektiivisyys:<br />
Selvästi KerA ⊂ Ker(A T A). Lisäksi x ∈ Ker(A T A) eli A T Ax = 0<br />
jos ja vain jos<br />
0 = (A T Ax, z) = (Ax, Az)<br />
32