Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

Lemma 3. Olkoon A ∈ C n×n säännöllinen matriisi. Matriisin A −1 ominaisarvot
ovat matriisin A ominaisarvojen käänteislukuja.
Todistus. Ominaisarvot löytyvät karakteristisen polynomin
nollakohdista. Nyt
p(λ) = det(A − λI)
det(A − λI) = det(A(λ −1 − A −1 )λ) = λ n det(A)det(λ −1 − A −1 ).
Koska A on säänöllinen, niin nolla ei ole sen ominaisarvo. Luku λ −1 on matriisin
A −1 ominaisarvo silloin ja vain silloin kun λ on matriisin A ominaisarvo.
Todistus: Lause 1. Määrätään matriisin M −1 suurin singulaariarvo. Nyt
(M −1 ) ∗ M −1 = (M ∗ ) −1 M −1 = (MM ∗ ) −1 .
Matriisin (M −1 ) ∗ M −1 ominaisarvot ovat matriisin MM ∗ ominaisarvojen käänteislukuja
lemman 3 nojalla. Matriisilla MM ∗ on samat ominaisarvot kuin matriisilla
M ∗ M lemman 2 nojalla. Matriisin M −1 singulaariarvot ovat
1
√
λi (M ∗ M) ,
i = 1, .., n missä λ i (M ∗ M) on matriisin M ∗ M ominaisarvo. Siis
σ max (M −1 ) =
1
σ min (M) .
Korollaari 1. Olkoon M ∈ C n×n säännöllinen matriisi. Silloin matriisin M
ehtoluku
κ(M) = σ max(M)
σ min (M) .
30