Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

Tehdään muuttujan vaihto −θ ′ = θ
n/4−1
|λ n/2+1 | =
∣ h ∑
∫ (2J+1)h
n/4−1
dR
−
J=0 (2J)h dθ (θ)dθ − h ∑
J=0
n/4−1
=
∣ h ∑
∫ (2J+1)h
n/4−1
dR
−
(2J)h dθ (θ)dθ + h ∑
J=0
J=0
∫ π−(2J)h
Vaihdetaan vielä summausindeksiksi J ′ = n/4 − J
n/4−1
|λ n/2+1 | =
∣ h ∑
∫ (2J+1)h
n/4
dR
−
J=0 (2J)h dθ (θ)dθ + h ∑
J ′ =1
n/4−1
=
∣ h ∑
∫ (2J+1)h
n/4−1
dR
−
J=0 (2J)h dθ (θ)dθ + h ∑
J ′ =0
∣ n/4−1
=
∣ h ∑
∫ (2J+1)h
∣∣∣∣∣
− dR dR
(θ) +
(2J)h dθ dθ (θ + h)dθ .
J=0
π−(2J+1)h
∫ 2(n/4−J)h
(2(n/4−J)−1)h
∫ (2J ′ )h
(2J ′ −1)h
∫ (2J ′ )h
(2J ′ −1)h
∣ ∣∣∣∣∣
dR
dθ (−θ′ )dθ ′
∣ ∣∣∣∣∣
dR
dθ (θ)dθ
Käytetään analyysin peruslausetta vielä uudestaan
∣ n/4−1
|λ n/2+1 | =
∣ h ∑
∫ (2J+1)h
∣∣∣∣∣
− dR dR
(θ) +
J=0 (2J)h dθ dθ (θ + h)dθ n/4−1
=
∣ h ∑
∫ (2J+1)h ∫ θ+h
d 2 R
(2J)h θ dθ 2 (θ′ )dθ ′ dθ
∣ .
J=0
Viemällä itseisarvomerkit integraalien sisälle saamme arvion
jolloin
|λ n/2+1 | ≤ h
κ(M n×n ) ≥
≤
∫ π ∫ θ+h
0
θ
h 2 π sup
θ ′
∣ ∣∣∣ d 2 R
sup
θ ′ dθ 2 (θ′ )
∣ dθ′ dθ
∣ ∣∣∣ d 2 R
dθ 2 (θ′ )
∣ ,
hR(0)
h 2 π sup θ |R ′′ (θ)| = R(0)
2π 2 sup θ |R ′′ (θ)| O(n).
∣ ∣∣∣∣∣
dR
dθ (θ)dθ
∣ ∣∣∣∣∣
dR
dθ (θ + 2h)dθ
Mitä suurempi n on sitä epästabiilimpaa on matriisin M n×n kääntäminen. Tämä
on tyypillistä käytöstä silottavien konvoluutioiden äärellisulotteisille approksimaatioille.
2.5 Yhteenveto
• Hyvin asetetulla ongelmalla on yksikäsitteinen ratkaisu, joka riippuu jatkuvasti
annetusta datasta.
28