Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

on similaarinen matriisin diag(|λ 1 | 2 , ..., |λ n | 2 ) kanssa ja similaarisilla matriiseilla
on samat ominaisarvot.
Olkoon nyt m j = R(h(j − 1))h, j = 1, ..., n. Vastaavan sirkulantin matriisin
M ominaisarvot ovat
n∑
λ k = hR(h(j − 1))exp(−2πi(j − 1)(k − 1)/n).
j=1
Oletetaan, että matriisi M on säännöllinen. Jos k = 1, niin
λ 1 =
n∑
hR(h(j − 1))
j=1
Jos k = n/2 + 1 (n on parillinen), niin
n∑
|λ n/2+1 | =
(−1) j−1 hR(h(j − 1))
∣
∣ .
j=1
Matriisin ehtoluvulle saadaan arvio
κ(M) ≥ |λ 1|
|λ n/2+1 | .
Sievennetään summalauseketta käyttäen hyväksi funktion R jaksollisuutta
ja symmetriaa. Kirjoitetaan aluksi
n∑
|λ n/2+1 | =
(−1) j−1 hR(h(j − 1))
∣j=1
∣
n/2−1
=
∣ h ∑
−R(h(2J + 1)) + R(h(2J))
J=0
∣
∣ n/2−1
=
∣ h ∑
∫ (2J+1)h ∣∣∣∣∣
dR
−
(2J)h dθ (θ)dθ .
J=0
Jaetaan summalauseke kahteen osaa: integraaleihin välin [0, π] osavälien yli ja
integraaleihin välin [π, 2π] osavälien yli :
∣ n/4−1
|λ n/2+1 | =
∣ h ∑
∫ (2J+1)h
n/2−1
dR
−
J=0
(2J)h dθ (θ)dθ + h ∑
∫ (2J+1)h ∣∣∣∣∣
dR
−
J=n/4
(2J)h dθ (θ)dθ ∣ n/4−1
=
∣ h ∑
∫ (2J+1)h
n/4−1
dR
−
J=0 (2J)h dθ (θ)dθ − h ∑
∫ (2(J+n/4)+1)h ∣∣∣∣∣
dR
J=0 (2(J+n/4))h dθ (θ)dθ ∣ n/4−1
=
∣ h ∑
∫ (2J+1)h
n/4−1
dR
−
J=0 (2J)h dθ (θ)dθ − h ∑
∫ (2J+1)h+π ∣∣∣∣∣
dR
J=0 (2J)h+π dθ (θ)dθ ∣ n/4−1
=
∣ h ∑
∫ (2J+1)h
n/4−1
dR
−
(2J)h dθ (θ)dθ − h ∑
∫ (2J+1)h−π ∣∣∣∣∣
dR
(2J)h−π dθ (θ)dθ .
J=0
27
J=0