Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
on similaarinen matriisin diag(|λ 1 | 2 , ..., |λ n | 2 ) kanssa ja similaarisilla matriiseilla<br />
on samat ominaisarvot.<br />
Olkoon nyt m j = R(h(j − 1))h, j = 1, ..., n. Vastaavan sirkulantin matriisin<br />
M ominaisarvot ovat<br />
n∑<br />
λ k = hR(h(j − 1))exp(−2πi(j − 1)(k − 1)/n).<br />
j=1<br />
Oletetaan, että matriisi M on säännöllinen. Jos k = 1, niin<br />
λ 1 =<br />
n∑<br />
hR(h(j − 1))<br />
j=1<br />
Jos k = n/2 + 1 (n on parillinen), niin<br />
n∑<br />
|λ n/2+1 | =<br />
(−1) j−1 hR(h(j − 1))<br />
∣<br />
∣ .<br />
j=1<br />
Matriisin ehtoluvulle saadaan arvio<br />
κ(M) ≥ |λ 1|<br />
|λ n/2+1 | .<br />
Sievennetään summalauseketta käyttäen hyväksi funktion R jaksollisuutta<br />
ja symmetriaa. Kirjoitetaan aluksi<br />
n∑<br />
|λ n/2+1 | =<br />
(−1) j−1 hR(h(j − 1))<br />
∣j=1<br />
∣<br />
n/2−1<br />
=<br />
∣ h ∑<br />
−R(h(2J + 1)) + R(h(2J))<br />
J=0<br />
∣<br />
∣ n/2−1<br />
=<br />
∣ h ∑<br />
∫ (2J+1)h ∣∣∣∣∣<br />
dR<br />
−<br />
(2J)h dθ (θ)dθ .<br />
J=0<br />
Jaetaan summalauseke kahteen osaa: integraaleihin välin [0, π] osavälien yli ja<br />
integraaleihin välin [π, 2π] osavälien yli :<br />
∣ n/4−1<br />
|λ n/2+1 | =<br />
∣ h ∑<br />
∫ (2J+1)h<br />
n/2−1<br />
dR<br />
−<br />
J=0<br />
(2J)h dθ (θ)dθ + h ∑<br />
∫ (2J+1)h ∣∣∣∣∣<br />
dR<br />
−<br />
J=n/4<br />
(2J)h dθ (θ)dθ ∣ n/4−1<br />
=<br />
∣ h ∑<br />
∫ (2J+1)h<br />
n/4−1<br />
dR<br />
−<br />
J=0 (2J)h dθ (θ)dθ − h ∑<br />
∫ (2(J+n/4)+1)h ∣∣∣∣∣<br />
dR<br />
J=0 (2(J+n/4))h dθ (θ)dθ ∣ n/4−1<br />
=<br />
∣ h ∑<br />
∫ (2J+1)h<br />
n/4−1<br />
dR<br />
−<br />
J=0 (2J)h dθ (θ)dθ − h ∑<br />
∫ (2J+1)h+π ∣∣∣∣∣<br />
dR<br />
J=0 (2J)h+π dθ (θ)dθ ∣ n/4−1<br />
=<br />
∣ h ∑<br />
∫ (2J+1)h<br />
n/4−1<br />
dR<br />
−<br />
(2J)h dθ (θ)dθ − h ∑<br />
∫ (2J+1)h−π ∣∣∣∣∣<br />
dR<br />
(2J)h−π dθ (θ)dθ .<br />
J=0<br />
27<br />
J=0