Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

integraali g(˜θ) saadaan raja-arvona Riemannin summista
n∑
S n (˜θ) = R(˜θ − θ (n)
j )f(θ (n)
j )h n ,
j=1
kun välin jakoa tihennetään (erityisesti kun n = 2 m ja m → ∞). Kirjoitetaan
nyt annetut arvot muodossa
(∫ π
)
g(θ k ) = R(θ k − θ)f(θ)dθ − S n (θ k ) + S n (θ k )
−π
n∑
= R(θ k − θ j )f(θ j )h + e k ,
missä
Merkitään
sekä
j=1
e k =
∫ π
−π
R(θ k − θ)f(θ)dθ − S n (θ k ).
M kj = R(θ k − θ j )h
x k = f(θ k ) ja y k = g(θ k )
kun k, j = 1, ..., n. Voimme korvata alkuperäisen ongelman matriisiyhtälöllä,
y = Mx + e.
jossa annettu data y on epätarkka.
Ryhdytään arvioimaan matriisin M ehtolukua. Matriisi M on
⎛
⎞
R(0) R(−h) R(−2h) · · · R(−(n − 2)h R(−(n − 1)h)
R(h) R(0) R(−h) · · · R(−(n − 3)h) R(−(n − 2)h)
M = h
R(2h) R(h) R(0) · · · R(−(n − 4)h) R(−(n − 2)h)
⎜
⎟
⎝ . . . · · · .
. ⎠
R((n − 1)h) R((n − 2)h) R((n − 3)h) · · · R(h) R(0)
Funktion R jaksollisuuden ansiosta matriisi M on ns. sirkulantti matriisi.
Yleisesti matriisia M ∈ R n×n kutsutaan sirkulantiksi (eng. circulant matrix),
jos se on muotoa
⎛
⎞
m 1 m n m n−1 · · · m 3 m 2
m 2 m 1 m n · · · m 4 m 3
M =
m 3 m 2 m 1 · · · m 5 m 4
⎜
⎝
.
.
. · · ·
.
⎟
. ⎠
m n m n−1 m n−2 · · · m 2 m 1
jollakin vektorilla (m 1 , ..., m n ) ∈ R n .
Lemma 1. Sirkulantin matriisin M ∈ R n×n ominaisarvot ovat
n∑
λ k = m j exp(−2πi(j − 1)(k − 1)/n), k = 1, .., n.
j=1
ja sirkulantti matriisi M on unitaarisesti similaarinen diagonaalimatriisin kanssa
(eli on olemassa unitaarinen matriisi U, jolle U ∗ MU on diagonaalimatriisi).
25