Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

More documents

Recommendations

Info

Jos suora ongelma ”määrää (vapaasti valittua) vektoria x ∈ V vastaava data y ∈ R m ”on hyvin asetettu, niin jokaista mahdollista tuntematonta x ∈ V vastaa yksi datavektori y ∈ R m . Voimme silloin määritellä funktion F : V → R m , joka kuvaa tuntemattoman x ∈ V sitä vastaavaksi dataksi y ∈ R m . Funktiota F kutsutaan suoraksi teoriaksi (eng. direct theory, forward mapping). Kohdan 3. mukaan F : V → R m on jatkuva. Oletetaan, että tunnetaan suora teoria F : V → R m . Olkoon lisäksi W ⊂ R m annettu. Ryhdytään tarkastelemaan suoraa ongelmaa vastaavaa inversioongelmaa: Määrää x ∈ V kun (vapaasti valittu) y = F(x) ∈ W ⊂ R m on annettu. Milloin tämä inversio-ongelma on hyvin asetettu? Kohdat 1. ja 2. edellyttävät inversio-ongelman yksikäsitteistä ratkeavuutta; kuvauksen F : V → W on oltava sekä surjektio että injektio. Tällöin käänteiskuvaus F −1 on olemassa ja sen määrittelyjoukko on koko W. Kolmas vaatimus – käänteiskuvauksen jatkuvuus– tähtää stabiilisuuteen: jos ongelma on hyvin asetettu, niin riittävän pieni häiriö datassa ei aiheuta suuria muutoksia ratkaisuun. Ehdon 3 nojalla F −1 on jatkuva pisteessä y 1 ∈ W jolloin annetulla ǫ > 0 löytyy sellainen δ > 0, että |F −1 (y 1 ) − F −1 (y 2 )| < ǫ aina kun y 2 ∈ W ja |y 1 − y 2 | < δ. Erityisesti jos näissä epäyhtälöissä y 1 = F(x 1 ) jollakin x 1 ∈ V ja y 2 ∈ W on muotoa y 2 = F(x 1 ) + e, missä |e| < δ, niin vastaaville ratkaisuille pätee |F −1 (y 1 ) − F −1 (y 2 )| = |x 1 − F −1 (F(x 1 ) + e)| < ǫ. Inversio-ongelma on hyvin asetettu, jos sillä on olemassa yksikäsitteinen stabiili ratkaisu. 2.2 Abstrakti kuvailu Palataan hetkeksi hiukan yleisempien inversio-ongelmien pariin, joissa tuntematon f ja data g voivat olla myös funktioita. Olkoot V 1 ja V 2 kaksi vektoriavaruutta, jotka on varustettu normeilla ‖·‖ 1 ja ‖·‖ 2 . Olkoon kuvaus R : V 1 → V 2 suora teoria, joka vie tuntemattoman vektorin f ∈ V 1 sitä vastaavaksi dataksi R(f) = g ∈ V 2 . Suora ongelma on määrätä g = R(f). Vastaavan inversioongelman ratkaisu voidaan jakaa seuraaviin osaongelmiin. 1. Identifioitavuus. Ratkaisun yksikäsitteisyyden näyttäminen eli kuvauksen R injektiivisyys. Vastaa kysymykseen: Onko data periaatteessa riittävä ratkaisun määräämiseksi? Yleensä ensimmäinen askel matemaattisessa inversio-ongelmassa. 2. Karakterisointi. Mikä on kuvauksenăR kuvajoukko? Millaiset datavektorit g vastaavat tuntemattomia f? 18
3. Stabiilisuus. Miten pienet häiriöt datassa vaikuttavat ratkaisuun? Onko R −1 jatkuva (jollakin joukolla U ⊂ V 2 )? 4. Rekonstruktio. Kuinka f saadaan annetusta g ∈ Im(R) matemaattisesti selville? Tämä on toinen tärkeä askel matemaattisen inversio-ongelman ratkaisemisessa. 5. Numeerinen rekonstruktio. Tarkka tai approksimatiivinen menetelmä ratkaisun numeeriseen määräämiseen saatavilla olevasta datasta. Kohdat 1.-3. ovat ekvivalentteja sille että matemaattinen inversio-ongelma on hyvin asetettu. Kohta 4. antaa matemaattisen konstruktion tuntemattoman selvittämiseksi datasta. Jo kohdat 1. ja 4. osoittavat, että ongelma on matemaattisesti ratkaistavissa jolloin on mahdollista edetä suoraan kohtaan 5. Kohta 5 on usein lähes uusi ongelma. Vaikka matemaattisen inversio-ongelman ratkaisu osoittaa, että ongelma on järkevästi asetettu ja ratkaisuperiaate tunnetaan, niiin käytännössä datan rajallisuus ja epätarkkuus voivat tehdä matemaattisen ratkaisuperiaatteen suoraviivaisen soveltamisen mahdottomaksi. Erityisesti tämä pätee kun ratkaisu ei ole stabiili. Tällöin käytetään approksimatiivisia ratkaisumenetelmiä, joihin tutustutaan myöhemmin tällä kurssilla. Kun haetaan numeerista ratkaisua, tuntematonta funktiota f(t), t ∈ R m joudutaan usein approksimoimaan joillakin yksinkertaisemmilla funktioilla f n (t) = n∑ a n φ n (t), i=1 missä funktiot φ n ovat tunnettuja, mutta kertoimet a n ∈ R ovat tuntemattomia. Tuntemattoman approksimaatio saadaan selville, mikäli onnistutaan määräämään vektori x = (a 1 , ..., a n ) ∈ R n . Approksimaatioissa päädytään yleensä vektoriarvoisten tuntemattomien inversio-ongelmaan. 2.3 Huonosti asetetut inversio-ongelmat Määritelmä 2. Jos ongelma ei ole hyvin asetettu, se on huonosti asetettu (eng. ill-posed). Tarkastellaan eri vaihtoehtoja: 1. Ratkaisu on olemassa, mutta on epäyksikäsitteinen. Useampi kuin yksi tuntematon tuottaa saman datan eli y = F(x 1 ) = F(x 2 ) joillakin tuntemattomilla x 1 ≠ x 2 . Tällöin on järkevää kysyä minkälaisesta epäyksikäsitteisyydestä on kysyä sekä mahdollisuutta rajoittaa tai priorisoida mahdollisten tuntemattomien joukkoa jollakin tapaa. Epäyksikäsitteisyys on varsinkin käytännön inversio-ongelmien rasite saatavilla olevan datan rajallisuuden vuoksi. Tyypillisesti matemaattisen inversioongelman ratkaisu edellyttää jonkin funktion tuntemista, mutta käytännössä funktion (approksimatiivisia) arvoja kyetään rekisteröimään vain 19
Page 1: Inversio-ongelmien peruskurssi Sari
Page 5 and 6: Sisältö 1 Suorat ongelmat ja inve
Page 7 and 8: Luku 1 Suorat ongelmat ja inversio-
Page 9 and 10: 1.2 1 tarkka data epätarkka data 4
Page 11 and 12: Inversio-ongelma: Määrää M kun
Page 13 and 14: • Ionosfäärin tutkimus (revontu
Page 15 and 16: Kuva 1.7: Neliö I i . 10 9 8 7 6 5
Page 17 and 18: Tällä ongelmalla on olemassa myö
Page 19 and 20: Esimerkki 8 Käänteisessä sironta
Page 21: - Käänteiset reuna-arvo-ongelmat
Page 26 and 27: joissakin pisteissä. Tarkastellaan
Page 28 and 29: Hyvin asetettu ongelma, jolla on hy
Page 30 and 31: Olkoon y = Mx + ε annettu. Jos ‖
Page 32 and 33: Todistus. Näytetään ensin, että
Page 34 and 35: Tehdään muuttujan vaihto −θ
Page 36 and 37: Lemma 3. Olkoon A ∈ C n×n sään
Page 38 and 39: Lemma 4. Matriisille M ∈ R m×n p
Page 40 and 41: ja A T y = ⎛ ⎞ ( ) 1 ( ) 1 1 1
Page 42 and 43: annettu data. Tikhonovin regularisa
Page 44 and 45: Tällöin saadaan arvio ‖(A T A +
Page 46 and 47: missä B = B n×n ′ on jokin sell
Page 49 and 50: Luku 4 Tilastolliset inversio-ongel
Page 51 and 52: Matemaattisina objekteina satunnais
Page 53 and 54: Huomautus 5. Kovarianssimatriisi C
Page 55 and 56: Olkoon f X (x|Y = y) satunnaisvekto
Page 57 and 58: Todistus. Funktio f Z on tntf, sill
Page 59 and 60: 4.2 Moniulotteinen Riemann-integraa
Page 61 and 62: missä i = 1, ..., m, a < b ∈ R j
Page 63 and 64: missä m post = C post F T C −1
Page 65 and 66: Nyt ∫ f (X,Y ) (x, y) = f (X,Y,ε
Page 67 and 68: 4.4 Erilaisia priorijakaumia Okoon
Page 69 and 70: 0.7 0.6 alpha=0.5 alpha=1 alpha=2 0
Page 71 and 72: elektronin lämpöliike noudattaa m
Page 73 and 74: [0, 1] : i = 1, .., n 2 } = {( k n
Page 75 and 76:
Vaihto-ehto 1) Tuntematonta mallinn
Page 77 and 78:
0.25 Cauchy Transformed Beta 0.2 0.
Page 79 and 80:
Silloin ∫ R n L(x, h(y))f post (x
Page 81 and 82:
Kun häiriön jakauma on N(0, δI),
Page 83 and 84:
- Tässä kurssissa moniulotteiset
show all

Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?