Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Luku 2<br />
Hyvin ja huonosti asetetut<br />
inversio-ongelmat<br />
2.1 Hyvin asetetut inversio-ongelmat<br />
Ryhdytään tarkastelemaan inversio-ongelmia vektoriavaruuksissa R n . Vektoriavaruus<br />
soveltuu hyvin tuntemattomien kuvailuun käytännön inversio-ongelmissa,<br />
sillä usein tavoitteena on muodostaa kuva tuntemattomasta kohteesta. Jos kuvassa<br />
on m × m pikseliä, niin tuntematon voidaan kuvata vektorina, jonka dimensio<br />
on n = m 2 .<br />
Lineaarinen vektoriavaruus R n , n ≥ 1 varustetaan tavanomaisella topologialla,<br />
jossa a-keskinen r-säteinen avoin pallo, missä a = (a 1 , ..., a n ) ∈ R n ja<br />
r > 0, on muotoa<br />
B(a, r) = {x ∈ R n : |x − a| < r}.<br />
Vektorin x = (x 1 , .., x n ) ∈ R n pituus |x| on<br />
∑<br />
|x| = √ n |x i | 2 .<br />
i=1<br />
Olkoon D ⊂ R n . Palautetaan mieleen, että funktio F : D ⊂ R n → R m on<br />
jatkuva pisteessä x 1 ∈ D jos jokaisella ǫ > 0 on olemassa sellainen δ > 0 että<br />
ehdoista x 2 ∈ D ja |x 1 − x 2 | < δ seuraa |F(x 1 ) − F(x 2 )| < ǫ.<br />
Seuraava määritelmä on inversio-<strong>ongelmien</strong> kannalta tärkeä.<br />
Määritelmä 1 (Jacques Hadamard, 1865-1963). Ongelma on hyvin asetettu<br />
(eng. well-posed), jos<br />
1. Ongelmalla on ratkaisu.<br />
2. Ratkaisu on yksikäsitteinen.<br />
3. Ratkaisu riippuu annetusta datasta jatkuvasti.<br />
Määritellään joukko<br />
V = {x ∈ R n : x on mahdollinen tuntematon }<br />
17