Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

More documents

Recommendations

Info

1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 1.12: Ultraäänikuvauksen periaate 2. Taaksepäin sironnut pulssi (kuvassa sininen käyrä) vastaanotetaan ja muunnetaan alla oleviksi kirkkausarvoiksi verhokäyrän (eng. envelope, kuvassa punainen käyrä) avulla. Ultraäänikuvauksen tarkempi matemaattinen malli on ääniaaltojen eli akustisten aaltojen etenemistä väliaineessa kuvaava malli. Aika-harmonista akustista aaltoa kappaleessa D ⊂ R n voidaan kuvata yhtälöllä ∆u(x) + ω2 c 2 u(x) = 0, x ∈ D, (x) missä ω on taajuus ja c(x) on äänen nopeus väliaineessa. Lähetettävää ääntä kuvataan yhtälöllä n · ∇u(x) = f(x), x ∈ ∂D, missä n on pinnan D normaalivektori. Pinnalla vastaanotettua ääntä kuvataan yhtälöllä g(x) = u(x), x ∈ ∂D. Funktion u(x) yhteys ajasta riippuvaan fysikaaliseen äänen paineeseen p(x, t) saadaan kaavasta p(x, t) = Re u(x)e −iωt . Suora ongelma: Määrää u kun funktiot c ja f on annettu. Inversio-ongelma: Määrää c kun g tunnetaan eri funktioilla f. Inversio-ongelmissa käytetään matematiikkaa myös erilaisten kuvantamismenetelmien parantamiseksi. Samaa akustista yhtälöä voidaan käyttää seismisten eli maan tärinää kuvaavien aaltojen etenemisen kuvaamiseen. Maankuoren rakennetta voidaan kartoittaa täristämällä maanpintaa koneellisesti (tai räjäytyksien avulla) ja mittaamalla maankuoren epähomogeenisuuksista sironnutta aaltoa maan pinnalla. Ääniaallot kulkevat hyvin myös vedessä, jolloin puhutaan kaikuluotaimista eli sonareista. 12
Esimerkki 8 Käänteisessä sirontaongelmassa (eng. inverse scattering problem) lähetetetään sähkömagneettinen tai akustinen aalto joka edetessään kohtaa tuntemattoman kappaleen tai väliaineen. Tuntematon poikkeama muuttaa lähetettyä aaltoa, jolloin syntyy sironnut aalto. Sironnutta aaltoa havainnoidaan etäällä tuntemattomasta poikkeamasta. Matemaattisesti väliaineesta tapahtuvaa sähkömagneettista sirontaa voidaan kuvata seuraavasti. Olkoon E = E(x, t) ∈ C 2 (R 2 × R + ;R 3 ) ja H = H(x, t) ∈ C 2 (R 2 × R + ;R 3 ) sähkömagneettisen aallon sähkökenttä ja magneettikenttä. Isotrooppisessa väliaineessa nämä kentät toteuttavat Maxwellin yhtälöt Aikaharmonisessa tapauksessa ∂H ∇ × E(x, t) + µ 0 (x, t) = 0 ∂t ∇ × H(x, t) − ǫ(x) ∂E (x, t) = σ(x)E (x, t). ∂t E(x, t) = ǫ − 1 2 0 E(x)e −iωt , H(x, t) = µ − 1 2 0 H(x)e −iωt , missä ω on aallon taajuus ja ǫ 0 ja µ 0 tyhjiön permittiivisyys ja permeabiliteetti. Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt ovat missä heijastuskerroin ∇ × E(x) − ikH(x) = 0 (1.1) ∇ × H(x) + ikn(x)E(x) = 0 (1.2) n(x) = 1 ( ǫ(x) + i σ(x) ) ǫ 0 ω riippuu väliaineesta ja k = ω √ ǫ 0 µ 0 . Olkoon E i ja H i aikaharmonsen Maxwellin yhtälöiden ratkaisu tyhjiössä (jolloin ǫ ≡ ǫ 0 ja σ ≡ 0) – tätä kutsutaan lähetetuksi aalloksi. Kun lähetetty aalto kohtaa epähomogeenisen väliaineen, se siroaa. Lähetetyn aallon ja sironneen aallon summa E = E i + E s , H = H i + H s toteuttaa epähomogeenisen aineen Maxwellin yhtälöt (1.1) ja (1.2). Lisäksi vaaditaan säteilyehto: tasaisesti joka suuntaan x |x| . lim |x|→∞ (Hs × x − |x|E s ) = 0 Suora ongelma: Määrää E s ja H s kun E i ja H i sekä n(x) on annettu. Inversio-ongelma: Määrää n(x) kun H s ja E s tunnetaan kaukana sirottavasta väliaineesta annetuilla E i ja H i . Akustista sirontaongelmaa kuvaavat yhtälöt u(x) = u i (x) + u s (x) ∆u(x) + ω2 c 2 (x) u(x) = 0, x ∈ Rn , 13
Page 1: Inversio-ongelmien peruskurssi Sari
Page 5 and 6: Sisältö 1 Suorat ongelmat ja inve
Page 7 and 8: Luku 1 Suorat ongelmat ja inversio-
Page 9 and 10: 1.2 1 tarkka data epätarkka data 4
Page 11 and 12: Inversio-ongelma: Määrää M kun
Page 13 and 14: • Ionosfäärin tutkimus (revontu
Page 15 and 16: Kuva 1.7: Neliö I i . 10 9 8 7 6 5
Page 17: Tällä ongelmalla on olemassa myö
Page 21: - Käänteiset reuna-arvo-ongelmat
Page 24 and 25: Jos suora ongelma ”määrää (va
Page 26 and 27: joissakin pisteissä. Tarkastellaan
Page 28 and 29: Hyvin asetettu ongelma, jolla on hy
Page 30 and 31: Olkoon y = Mx + ε annettu. Jos ‖
Page 32 and 33: Todistus. Näytetään ensin, että
Page 34 and 35: Tehdään muuttujan vaihto −θ
Page 36 and 37: Lemma 3. Olkoon A ∈ C n×n sään
Page 38 and 39: Lemma 4. Matriisille M ∈ R m×n p
Page 40 and 41: ja A T y = ⎛ ⎞ ( ) 1 ( ) 1 1 1
Page 42 and 43: annettu data. Tikhonovin regularisa
Page 44 and 45: Tällöin saadaan arvio ‖(A T A +
Page 46 and 47: missä B = B n×n ′ on jokin sell
Page 49 and 50: Luku 4 Tilastolliset inversio-ongel
Page 51 and 52: Matemaattisina objekteina satunnais
Page 53 and 54: Huomautus 5. Kovarianssimatriisi C
Page 55 and 56: Olkoon f X (x|Y = y) satunnaisvekto
Page 57 and 58: Todistus. Funktio f Z on tntf, sill
Page 59 and 60: 4.2 Moniulotteinen Riemann-integraa
Page 61 and 62: missä i = 1, ..., m, a < b ∈ R j
Page 63 and 64: missä m post = C post F T C −1
Page 65 and 66: Nyt ∫ f (X,Y ) (x, y) = f (X,Y,ε
Page 67 and 68: 4.4 Erilaisia priorijakaumia Okoon
Page 69 and 70:
0.7 0.6 alpha=0.5 alpha=1 alpha=2 0
Page 71 and 72:
elektronin lämpöliike noudattaa m
Page 73 and 74:
[0, 1] : i = 1, .., n 2 } = {( k n
Page 75 and 76:
Vaihto-ehto 1) Tuntematonta mallinn
Page 77 and 78:
0.25 Cauchy Transformed Beta 0.2 0.
Page 79 and 80:
Silloin ∫ R n L(x, h(y))f post (x
Page 81 and 82:
Kun häiriön jakauma on N(0, δI),
Page 83 and 84:
- Tässä kurssissa moniulotteiset
show all

Inversio-ongelmien peruskurssi - Oulu

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?