2. Bayesin päätösteoria

Oulun yliopisto, Hahmontunnistus ja neuroverkot (521497S), TS
29 / 99
Edellä esitettyä diskriminanttifunktiota voidaan muokata edelleen laskemalla etäisyyslauseke
auki, jolloin saadaan:
gi( x)
=
1
2σ 2
– -------- x t t t
[ x – 2mix + mi mi]
+ ln P( ωi) Termi x t x on sama kaikille luokille, joten se voidaan jättää pois. Merkitään nyt:
1
wi σ
Tällöin saadaan muoto, jota kutsutaan lineaariseksi diskriminanttifunktioksi:
2
1
= ----- mi ja wi0 2σ 2
t
= – -------- mi mi + ln P( ωi) t
gi( x)
= wix + wi0
Lineaarista diskriminanttifunktiota käyttävää luokittelijaa kutsutaan lineaariseksi
koneeksi (linear machine). Voidaan osoittaa, että lineaarisella koneella luokkia erottelevina
päätöspintoina toimivat hypertasot, jotka voidaan laskea suoraviivaisesti
jokaisen luokkaparin i-j välille asettamalla g i (x)=g j (x):
w i
gi( x)
– gj( x)
= 0
t t
x + wi0 – wjx – wj0 = 0
1
----- ( mi – mj) t 1 t
x --------m
1 t
– imi
+ ln P( ωi) + --------m jmj
– ln P( ωj) = 0
σ 2
( mi – mj) t x
( mi – mj) t x
2σ 2
( mi – mj) t x
Yhtälö ( mi – mj) edustaa pisteen x0 kautta kulkevaa hypertasoa L,
joka on kohtisuorassa luokkien i ja j keskipisteitä yhdistävää janaa mi-mj vastaan.
t ( x – x0) =
0
2σ 2
1 t t
– -- ( m
2 imi
– mj mj)
σ 2 ln P ω ( i)
+ ------------- = 0
P( ωj) 1
-- ( m
2 i – mj) t
mi – mj –
( mi + mj) -------------------------σ
2
mi – mj 2 ln P ω ( i)
+ ------------- = 0
P( ωj) 1
-- ( m
2 i – mj) t ( mi – mj) –
( mi + mj) t
-------------------------σ
2
mi – mj 2 ln P ω ( i)
+ ------------- ( m
P( ωj) i – mj) = 0
( mi – mj) t 1
x – -- ( m
2 i + mj) -------------------------ln
2
mi – mj P ω ⎧ ( i)
⎫
⎨ +
------------- ( m
P( ωj) i – mj) ⎬
⎩ ⎭
σ 2
( mi – mj) t ( x – x0) = 0
2
=
0