2. Bayesin päätösteoria

2.4. Normaalijakauma
Oulun yliopisto, Hahmontunnistus ja neuroverkot (521497S), TS
23 / 99
Bayesin luokittelijan rakenteen määrittelee ehdolliset tiheysfunktiot p( x ωi) ja prioritodennäköisyydet
P(ωi). Eniten tutkittu tiheysfunktiomuoto on normaalijakauma
(normal density, Gaussian), koska sen analyyttinen käsiteltävyys on hyvä ja koska
se sopii hyvin mallintamaan usein esiintyvää signaaliin summautunutta kohinaa.
Ensialkuun palautetaan mieleen skalaariarvoisen funktion f(x) tilastollisen odotusarvon
(expected value) määritelmä, kun x on jatkuva-arvoinen muuttuja:
∞
ε[ f( x)
] ≡ f( x)p
( x)
dx
Diskreetin muuttujan x ∈ D tapauksessa odotusarvo lasketaan kaavalla:
Huomaa, että jatkuva muuttujan x tapauksessa käytetään todennäköisyystiheysfunktiota
p(x) (pienellä p:llä), kun diskreetin muuttujan x tapauksessa käytetään
todennäköisyysjakaumaa (todennäköisyysmassaa) P(x) (isolla P:llä).
Jatkuva-arvoisen skalaarimuuttujan x normaalijakauma eli Gaussin jakauma:
Muuttujan x odotusarvo ja neliöllisen poikkeaman odotusarvo eli varianssi:
∞
∫
– ∞
ε[ f( x)
] = f( x)P
( x)
p( x)
=
∑
x ∈ D
1
– -- ⎛----------- x – µ ⎞
--------------e
1 2⎝
σ ⎠
2πσ
2
µ ≡ ε[ x ] = xp( x)
dx
∫
– ∞
σ 2 ε ( x – µ ) 2 ≡ [ ] ( x – µ ) 2 =
p( x)
dx
∞
∫
– ∞