Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 2. v ...

Ville Turunen:
Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1
2. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Materiaali: kirjat
[Adams] R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition),
[Lay] D. C. Lay: Linear algebra and its applications (3rd edition).
1 Luvut, jonot ja sarjat [Adams P.1, Appendix III,
9.1-9.4]
1.1 Luvuista [Adams P.1 & Appendix III]
Olkoon [a, b] ⊂ [−∞, ∞] ja S ⊂ R.
Jos S ⊂ [a, b], niin a on joukon S alaraja ja b yläraja.
(Varoitus: usein kirjoissa vaaditaan, että ylärajan pitää olla reaaliluku.)
“Reikiä nolla” eli R:n täydellisyys: Joukolla S ⊂ R on
• pienin yläraja sup(S) (latinaa: supremum),
• suurin alaraja inf(S) (latinaa: infimum).
Jos inf(S), sup(S) ∈ S, niin inf(S) = min(S) ja sup(S) = max(S).
1.2 (Luku)jonot [Adams 9.1]
Jono joukossa S eli S-jono on funktio x : Z + → S, merkitään myös
x = (xk) ∞ k=1 = (x1, x2, x3, x4, . . .).
Joskus jono voi alkaa muusta indeksistä kuin k = 1, esim.
(xk) ∞ k=42 = (x42, x43, x44, x45, x46, . . .).
Huom. (xk) ∞ k=1 = {xk} ∞ k=1 : jonossa järjestys on määrätty, mutta joukossa ei!
1

Määritelmä. R-jono (xk) ∞ merkitään
k=0
xk −−−→
k→∞ a tai xk → a tai lim xk = a,
k→∞
jos “xk ≈ a suurilla k” eli
suppenee lukuun a ∈ R (raja-arvo eli limes a),
∀ε > 0 ∃Nε ∈ Z + : k ≥ Nε ⇒ |xk − a| < ε.
Jos jono ei suppene, sanotaan, että se hajaantuu.
Huom. Jos xk → a ja xk → b, niin a = b.
R-jono x “hajaantuu ∞:ään”, merk. xk → ∞, jos
∀M < ∞ ∃kM ∈ Z + : k ≥ kM ⇒ xk > M.
Merkitään xk → −∞, jos −xk → +∞.
Ominaisuuksia: Jos a, b, t ∈ R ja xk → a ja yk → b, niin
• (xk + yk) → a + b, (txk) → ta, (xkyk) = ab.
• (xk/yk) → a/b, jos yk = 0 = b.
• [∀k : xk ≤ yk] ⇒ a ≤ b.
Kuristusperiaate: Jos xk → a, zk → a ja xk ≤ yk ≤ zk, niin yk → a.
Erityisesti jos |xk| → 0, niin xk → 0.
Tulos: jos R-jono (xk) ∞ k=1 on kasvava eli ∀k : xk ≤ xk+1, niin xk → sup
k∈Z +
xk.
(Vähenevälle jonolle xk → inf xk).
k∈Z +
Seurauksia: Jos x ∈ R ja |x| < 1, niin x k → 0.
Jos z ∈ R, niin z k /k! → 0.
R-jono x on rajoitettu, jos ∃M < ∞ ∀k : |xk| ≤ M.
Esim. jos xk → a ∈ R, niin x on rajoitettu.
Poimintalause: jos (xk) ∞ k=1 on rajoitettu, niin sillä on suppeneva osajono.
(Osajono on jono muotoa (xkj )∞j=1, missä kj ∈ Z + ja k1 < k2 < k3 < k4 < . . .)
2

1.3 Sarjat [Adams 9.2-9.4]
R-jonon (ak) ∞ k=1
sarja (tai sarjan summa) tarkoittaa raja-arvoa
∞
k=1
ak := lim
n→∞
n
k=1
ak = lim
n→∞ (a1 + a2 + . . . + an).
Sanonta: sarja suppenee, jos raja-arvo on olemassa (muutoin sarja hajaantuu).
Ominaisuuksia: Jos t ∈ R ja sarjat ak ja bk suppenevat, niin
(ak + bk) = ak + bk ja (tak) = t ak.
Jos lisäksi ∀k : ak ≤ bk, niin
ak ≤ bk.
Sarjan hajaantumisen testi: jos ∞
k=1 ak suppenee, niin ak → 0.
Huom. Ns. harmoninen sarja ∞ k=1 1/k = ∞ (ja siis hajaantuu).
Geometrinen summa
Geometrinen sarja
∞
k=0
n
k=0
cr k = c(1 − rn+1 )
1 − r
cr k = c
1 − r
(kun |r| < 1).
Vertailutesti: Jos |bk| suppenee ja ∀k : |ak| ≤ |bk|,
niin ak suppenee ja | ak| ≤ |bk|.
Esim. ∞
k=1 1/k2 suppenee.
Suhdetesti: Olkoon q = lim sup
n→∞
k≥n
• Jos q < 1, niin ak suppenee.
• Jos q > 1, niin ak hajaantuu.
ak+1
ak
.
(kun r = 1).
Leibniz: “Jos 0 ≤ ak → 0 ja ∀k : ak ≥ ak+1, niin ∞
k=0 (−1)k ak suppenee.”
3

2 Funktion raja-arvo ja jatkuvuus [Adams 1.2-1.5]
2.1 Alkeet [Adams 1.2-1.4]
Funktion raja-arvo. Olkoon S ⊂ R. Funktiolla f : S → R on raja-arvo
y0 ∈ R pisteessä x0 ∈ R (tai myös x0 ∈ {−∞, ∞}), jos
S ∋ xk −−−→
k→∞ x0 ⇒ f(xk) −−−→
k→∞ y0;
merkitään silloin lim f(x) = y0 eli f(x) −−−→ y0. Lyhennyksiä:
x→x0
x→x0
lim
x→x −
0
f(x) := lim f|{z∈S: z 0 ∀x ∈ S : 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − y0| < ε.
4

2.3 Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia [Adams 1.4 &
Appendix III]
Jatkuvan funktion väliarvolause. Olkoon f : [a, b] → R jatkuva
ja f(a) < s < f(b). Silloin f(c) = s jollakin c ∈]a, b[.
Juuren etsintä välin puolituksella. Ratkaistava f(x) = 0.
Oletus: f jatkuva.
Jos I0 = [a, b] ja f(a), f(b) erimerkkiset, niin
Puolita väli Ik suljetuiksi väleiksi I ′ k+1
Ota Ik+1 ∈ {I ′ k+1
Kun {xk+1} := I ′ k+1
∃c ∈ I0 : f(c) = 0.
ja I′′
k+1 .
, I′′
k+1 } siten, että Ik+1:n päätepisteissä f erimerkkinen (tai 0).
∩ I′′
k+1 , pätee xk → r, missä f(r) = 0.
Lause. Jos f : [a, b] → R jatkuva, niin se on rajoitettu.
Lause. Suljetulla rajoitetulla välillä jatkuvalla funktiolla on maksimi ja minimi.
Lause. Suljetun rajoitetun välin jatkuva kuva on suljettu rajoitettu väli.
Lause. Jos f : [a, b] → [c, d] jatkuva bijektio, niin f −1 on jatkuva.
2.3.1 Kiintopisteiterointi [Adams 4.6]
Ratkaistava f(x) = 0.
f(x) = 0 ⇐⇒ x = f(x) + x.
Olkoon g(x) := f(x) + x.
Alkuarvaus x0 ≈ r,
iterointi xk+1 = g(xk).
Iteraatio suppenee, jos esim. g : [a, b] → [a, b] on tasaisesti kutistava eli
∀x, z ∈ R : |g(x) − g(z)| ≤ c|x − z|.
jollakin vakiolla c < 1; silloin |xk − r| ≤ c k |x0 − r|.
Huom. Jos g on derivoituva, niin
|g(x) − g(y)| ≤ sup |g
z∈[x,y]
′ (z)| |x − y|.
5

2.4 Kaarenpituus ja kulma ([Adams 7.3, P.7])
Olkoon r : [a, b] → R 2 , jolle
∀t1, t2 : r(t1) − r(t2) ≤ C|t1 − t2|.
Vastaavan käyrän kaarenpituus välillä [a, b] on
k
ℓ(r, [a, b]) := sup
j=1
r(tj) − r(tj−1) : k ∈ Z + , a = t0 < t1 < t2 < · · · < tk = b
Luku π ∈ R määritellään niin, että 2π on yksikköympyrän kehän pituus;
π ≈ 3, 14159265.
Vektorien u, v ∈ R 2 \ {(0, 0)} välinen kulma on kaarenpituus ℓ(kuv) ∈ [0, π],
missä kuv on yksikköympyrän (lyhyempi) kaari pisteiden u/u ja v/v välillä.
2.5 Trigonometriset funktiot [Adams P.6]
Jatkuvat funktiot cos, sin : R → R (kosini ja sini) määritellään seuraavasti:
(cos(t), sin(t)) ∈ R 2
on se yksikköympyrän x 2 + y 2 = 1 piste, joka on pisteestä (1, 0) etäisyydellä t,
kun kuljetaan ympyrää positiiviseen kiertosuuntaan.
Tangentti
tan(t) := sin(t)
cos(t) ,
kun cos(t) = 0. Funktiot cos, sin : R → R ovat jatkuvia. Jos
cos(t) − sin(t)
[R(t)] :=
,
sin(t) cos(t)
niin [R(t + h)] = [R(t)][R(h)], mistä saadaan trigonometriset summakaavat. . .
6
.

3 Derivaatta
3.1 Alkeet [Adams 2.1-2.2]
Määr. Olkoon S ⊂ R. Funktion f : S → R derivaatta pisteessä x ∈ S on
f ′ (x) = d
f(x) := lim
dx h→0
f(x + h) − f(x)
.
h
Jos f ′ (x0) olemassa, on f derivoituva x0:ssa.
Tulkinta: f ′ (x0) on käyrän y = f(x) tangentin kulmakerroin pisteessä (x0, f(x0)).
Merkitään f (0) (x) =
d 0
(n+1) (n) ′ d n+1
f(x) ja f (x) = (f ) (x) = f(x).
dx
dx
3.2 Derivaatan ominaisuuksia [Adams 2.3]
Jos f on derivoituva x0:ssa, niin f on jatkuva x0:ssa. Jos f, g derivoituvia, niin
(f + g) ′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x), c ∈ R ⇒ (c f) ′ (x) = c f ′ (x),
(fg) ′ (x) = f ′ (x) g(x) + f(x) g ′ ′
1
(x), (x) =
f
−f ′ (x)
.
f(x) 2
d
dx xn = n x n−1 .
3.3 Väliarvolause ja nolladerivaatta [Adams 4.2, 2.6, 2.10]
Määr. Funktiolla f : A → R on pisteessä x0 ∈ A
paikallinen maksimi, jos ∃h > 0 ∀x ∈ A : |x − x0| < h ⇒ f(x) ≤ f(x0),
ja paikallinen minimi, jos ∃h > 0 ∀x ∈ A : |x − x0| < h ⇒ f(x) ≥ f(x0).
Paikallinen ääriarvokohta on paikallinen maksimi tai paikallinen minimi.
Tulos: Olkoon x0 ∈ [a, b] jatkuvan funktion f : [a, b] → R paikallinen ääriarvokohta.
Silloin joko (1) tai (2):
(1) f ′ (x0) ei ole olemassa (tämä sisältää myös tapaukset x0 = a, x0 = b).
(2) f ′ (x0) = 0.
Seuraus (ns. Väliarvolause). Olkoon f : [a, b] → R jatkuva välillä [a, b] ja
derivoituva välillä ]a, b[. Silloin
∃x0 ∈]a, b[: f ′ (x0) =
7
f(b) − f(a)
.
b − a

Väliarvolauseen sovellus: Olkoon f :]a, b[→ R derivoituva. Silloin
(1) ∀x ∈]a, b[: f ′ (x) ≥ 0 ⇒ f kasvava,
(2) ∀x ∈]a, b[: f ′ (x) ≤ 0 ⇒ f vähenevä.
Nolladerivaatan ongelma (Integraalilaskun peruslause):
Millainen on f, jos f ′ (x) = 0 kaikilla x ∈ R?
Vastaus: f on vakiofunktio.
Määr. Jos F :]a, b[→ R on derivoituva, sanotaan, että funktio F on funktion
F ′ :]a, b[→ R integraalifunktio, merkitään
F ′ dx := F (x) + C,
missä F ′ dx on F ′ :n ns. määräämätön integraali ja C ∈ R on (määräämätön)
integroimisvakio.
3.4 Trigonometristen funktioiden derivointi [Adams 2.5]
sin ′ (t) = cos(t) ja cos ′ (t) = − sin(t).
3.5 Eksponentti ja logaritmi [Adams 3.2-3.4, 3.6]
Määritellään exp : R → R kaavalla exp(t) :=
Neperin luku e := exp(1) ≈ 2, 71828.
Pätee esim. exp(t + h) = exp(t) exp(h) ja
exp ′ = exp .
∞
k=0
1
k! tk .
Luonnollinen logaritmi ln = exp −1 :]0, ∞[→ R.
a-kantainen eksponenttikuvaus t ↦→ a t := exp(t ln(a)), kun a > 0; sen käänteisfunktio
a-kantainen logaritmi log a :]0, ∞[→ R eli
Hyperbolinen kosini cosh(t) := et + e −t
log a(b) = ln(b)
ln(a) .
2
ja hyperbolinen sini sinh(t) := et − e−t .
2
8

3.6 Ketjusääntö [Adams 2.4]
d
dx f(g(x)) = f ′ (g(x)) g ′ (x).
3.7 Käänteisfunktion derivaatta [Adams 3.1 (3.1-3.6)]
Esim. d
dx
(g −1 ) ′ (g(x0)) = 1
g ′ (x0) .
1 d
ln(x) = , joten
x dx xa = . . . = ax a−1 , kun a ∈ R.
3.8 Käyrän tangentti
3.8.1 Implisiittinen derivointi [Adams 2.9]
Tason käyrän F (x, y) = 0 pisteessä (x0, y0) tangentti
y − y0 = k(x − x0),
missä (joskus) k = y ′ (x0) ratkaistaan yhtälöstä
d
F (x, y(x))
dx
x=x0
= 0.
3.8.2 L’Hospitalin säännöt (L’Hôpital) [Adams 4.9]
L’Hospitalin sääntö: Jos limx→x0 f(x) = 0 = limx→x0 g(x), missä f, g ovat
derivoituvia x0:n lähellä (ei ehkä x0:ssa) ja g ′ (x) = 0 x0:n lähellä, niin
Säännön muunnelmat:
x0 = ±∞,
lim . . . = ±∞.
f(x)
lim
x→x0 g(x)
f
= lim
x→x0
′ (x)
g ′ (x) .
9

4 Derivaatan sovelluksia [Adams 4]
4.1 Kuperuus ja f ′′ [Adams 4.3]
Määritelmä. Derivoituva f (ja käyrä y = f(x)) on
kupera ylös, jos f ′ on kasvava (esim. f(x) = x 2 ); [:)]
kupera alas, jos f ′ on vähenevä (esim. f(x) = −x 2 ). [:(]
x0 on f:n käännepiste, jos f:n kuperuussuunta vaihtuu x0:ssa.
Huom.
f ′′ > 0 ⇒ f ′ kasvava ⇒ f kupera ylös.
f ′′ < 0 ⇒ f ′ vähenevä ⇒ f kupera alas.
x0 käännepiste ja ∃f ′′ (x0) ∈ R ⇒ f ′′ (x0) = 0.
f:n lokaalin ääriarvon f ′′ -testi:
f ′ (x0) = 0 ja f ′′ (x0) < 0 ⇒ x0: ssa lokaali maksimi,
f ′ (x0) = 0 ja f ′′ (x0) > 0 ⇒ x0: ssa lokaali minimi.
4.2 Juuria etsimässä [Adams 4.6]
Etsi yhtälön f(x) = 0 (jokin) ratkaisu x = r.
4.2.1 Puolitusmenetelmä [hidas]
Katso kohta 2.3.
4.2.2 Kiintopisteiteraatio [nopeahko]
Katso kohta 2.3.1.
4.2.3 Newton-iteraatio [nopea, jos toimii]
Halutaan löytää r, jolle f(r) = 0.
Oletus: f ′ jatkuva ja f ′ (r) = 0.
Alkuarvaus x0 ≈ r. Newton-iteraatio xk+1 := xk − f(xk)
f ′ (xk) .
10