Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 2. v ...
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 2. v ...
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 2. v ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Ville</strong> <strong>Turunen</strong>:<br />
<strong>Mat</strong>-<strong>1.1410</strong> <strong>Mat</strong>ematiikan <strong>peruskurssi</strong> <strong>P1</strong><br />
<strong>2.</strong> välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007<br />
<strong>Mat</strong>eriaali: kirjat<br />
[Adams] R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition),<br />
[Lay] D. C. Lay: Linear algebra and its applications (3rd edition).<br />
1 Luvut, jonot ja sarjat [Adams P.1, Appendix III,<br />
9.1-9.4]<br />
1.1 Luvuista [Adams P.1 & Appendix III]<br />
Olkoon [a, b] ⊂ [−∞, ∞] ja S ⊂ R.<br />
Jos S ⊂ [a, b], niin a on joukon S alaraja ja b yläraja.<br />
(Varoitus: usein kirjoissa vaaditaan, että ylärajan pitää olla reaaliluku.)<br />
“Reikiä nolla” eli R:n täydellisyys: Joukolla S ⊂ R on<br />
• pienin yläraja sup(S) (latinaa: supremum),<br />
• suurin alaraja inf(S) (latinaa: infimum).<br />
Jos inf(S), sup(S) ∈ S, niin inf(S) = min(S) ja sup(S) = max(S).<br />
1.2 (Luku)jonot [Adams 9.1]<br />
Jono joukossa S eli S-jono on funktio x : Z + → S, merkitään myös<br />
x = (xk) ∞ k=1 = (x1, x2, x3, x4, . . .).<br />
Joskus jono voi alkaa muusta indeksistä kuin k = 1, esim.<br />
(xk) ∞ k=42 = (x42, x43, x44, x45, x46, . . .).<br />
Huom. (xk) ∞ k=1 = {xk} ∞ k=1 : jonossa järjestys on määrätty, mutta joukossa ei!<br />
1
Määritelmä. R-jono (xk) ∞ merkitään<br />
k=0<br />
xk −−−→<br />
k→∞ a tai xk → a tai lim xk = a,<br />
k→∞<br />
jos “xk ≈ a suurilla k” eli<br />
suppenee lukuun a ∈ R (raja-arvo eli limes a),<br />
∀ε > 0 ∃Nε ∈ Z + : k ≥ Nε ⇒ |xk − a| < ε.<br />
Jos jono ei suppene, sanotaan, että se hajaantuu.<br />
Huom. Jos xk → a ja xk → b, niin a = b.<br />
R-jono x “hajaantuu ∞:ään”, merk. xk → ∞, jos<br />
∀M < ∞ ∃kM ∈ Z + : k ≥ kM ⇒ xk > M.<br />
Merkitään xk → −∞, jos −xk → +∞.<br />
Ominaisuuksia: Jos a, b, t ∈ R ja xk → a ja yk → b, niin<br />
• (xk + yk) → a + b, (txk) → ta, (xkyk) = ab.<br />
• (xk/yk) → a/b, jos yk = 0 = b.<br />
• [∀k : xk ≤ yk] ⇒ a ≤ b.<br />
Kuristusperiaate: Jos xk → a, zk → a ja xk ≤ yk ≤ zk, niin yk → a.<br />
Erityisesti jos |xk| → 0, niin xk → 0.<br />
Tulos: jos R-jono (xk) ∞ k=1 on kasvava eli ∀k : xk ≤ xk+1, niin xk → sup<br />
k∈Z +<br />
xk.<br />
(Vähenevälle jonolle xk → inf xk).<br />
k∈Z +<br />
Seurauksia: Jos x ∈ R ja |x| < 1, niin x k → 0.<br />
Jos z ∈ R, niin z k /k! → 0.<br />
R-jono x on rajoitettu, jos ∃M < ∞ ∀k : |xk| ≤ M.<br />
Esim. jos xk → a ∈ R, niin x on rajoitettu.<br />
Poimintalause: jos (xk) ∞ k=1 on rajoitettu, niin sillä on suppeneva osajono.<br />
(Osajono on jono muotoa (xkj )∞j=1, missä kj ∈ Z + ja k1 < k2 < k3 < k4 < . . .)<br />
2
1.3 Sarjat [Adams 9.2-9.4]<br />
R-jonon (ak) ∞ k=1<br />
sarja (tai sarjan summa) tarkoittaa raja-arvoa<br />
∞<br />
k=1<br />
ak := lim<br />
n→∞<br />
n<br />
k=1<br />
ak = lim<br />
n→∞ (a1 + a2 + . . . + an).<br />
Sanonta: sarja suppenee, jos raja-arvo on olemassa (muutoin sarja hajaantuu).<br />
Ominaisuuksia: Jos t ∈ R ja sarjat ak ja bk suppenevat, niin<br />
(ak + bk) = ak + bk ja (tak) = t ak.<br />
Jos lisäksi ∀k : ak ≤ bk, niin<br />
ak ≤ bk.<br />
Sarjan hajaantumisen testi: jos ∞<br />
k=1 ak suppenee, niin ak → 0.<br />
Huom. Ns. harmoninen sarja ∞ k=1 1/k = ∞ (ja siis hajaantuu).<br />
Geometrinen summa<br />
Geometrinen sarja<br />
∞<br />
k=0<br />
n<br />
k=0<br />
cr k = c(1 − rn+1 )<br />
1 − r<br />
cr k = c<br />
1 − r<br />
(kun |r| < 1).<br />
Vertailutesti: Jos |bk| suppenee ja ∀k : |ak| ≤ |bk|,<br />
niin ak suppenee ja | ak| ≤ |bk|.<br />
Esim. ∞<br />
k=1 1/k2 suppenee.<br />
<br />
<br />
Suhdetesti: Olkoon q = lim sup <br />
n→∞ <br />
k≥n<br />
• Jos q < 1, niin ak suppenee.<br />
• Jos q > 1, niin ak hajaantuu.<br />
ak+1<br />
ak<br />
<br />
<br />
<br />
.<br />
(kun r = 1).<br />
Leibniz: “Jos 0 ≤ ak → 0 ja ∀k : ak ≥ ak+1, niin ∞<br />
k=0 (−1)k ak suppenee.”<br />
3
2 Funktion raja-arvo ja jatkuvuus [Adams 1.2-1.5]<br />
<strong>2.</strong>1 Alkeet [Adams 1.2-1.4]<br />
Funktion raja-arvo. Olkoon S ⊂ R. Funktiolla f : S → R on raja-arvo<br />
y0 ∈ R pisteessä x0 ∈ R (tai myös x0 ∈ {−∞, ∞}), jos<br />
S ∋ xk −−−→<br />
k→∞ x0 ⇒ f(xk) −−−→<br />
k→∞ y0;<br />
merkitään silloin lim f(x) = y0 eli f(x) −−−→ y0. Lyhennyksiä:<br />
x→x0<br />
x→x0<br />
lim<br />
x→x −<br />
0<br />
f(x) := lim f|{z∈S: z 0 ∀x ∈ S : 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − y0| < ε.<br />
4
<strong>2.</strong>3 Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia [Adams 1.4 &<br />
Appendix III]<br />
Jatkuvan funktion väliarvolause. Olkoon f : [a, b] → R jatkuva<br />
ja f(a) < s < f(b). Silloin f(c) = s jollakin c ∈]a, b[.<br />
Juuren etsintä välin puolituksella. Ratkaistava f(x) = 0.<br />
Oletus: f jatkuva.<br />
Jos I0 = [a, b] ja f(a), f(b) erimerkkiset, niin<br />
Puolita väli Ik suljetuiksi väleiksi I ′ k+1<br />
Ota Ik+1 ∈ {I ′ k+1<br />
Kun {xk+1} := I ′ k+1<br />
∃c ∈ I0 : f(c) = 0.<br />
ja I′′<br />
k+1 .<br />
, I′′<br />
k+1 } siten, että Ik+1:n päätepisteissä f erimerkkinen (tai 0).<br />
∩ I′′<br />
k+1 , pätee xk → r, missä f(r) = 0.<br />
Lause. Jos f : [a, b] → R jatkuva, niin se on rajoitettu.<br />
Lause. Suljetulla rajoitetulla välillä jatkuvalla funktiolla on maksimi ja minimi.<br />
Lause. Suljetun rajoitetun välin jatkuva kuva on suljettu rajoitettu väli.<br />
Lause. Jos f : [a, b] → [c, d] jatkuva bijektio, niin f −1 on jatkuva.<br />
<strong>2.</strong>3.1 Kiintopisteiterointi [Adams 4.6]<br />
Ratkaistava f(x) = 0.<br />
f(x) = 0 ⇐⇒ x = f(x) + x.<br />
Olkoon g(x) := f(x) + x.<br />
Alkuarvaus x0 ≈ r,<br />
iterointi xk+1 = g(xk).<br />
Iteraatio suppenee, jos esim. g : [a, b] → [a, b] on tasaisesti kutistava eli<br />
∀x, z ∈ R : |g(x) − g(z)| ≤ c|x − z|.<br />
jollakin vakiolla c < 1; silloin |xk − r| ≤ c k |x0 − r|.<br />
Huom. Jos g on derivoituva, niin<br />
|g(x) − g(y)| ≤ sup |g<br />
z∈[x,y]<br />
′ (z)| |x − y|.<br />
5
<strong>2.</strong>4 Kaarenpituus ja kulma ([Adams 7.3, P.7])<br />
Olkoon r : [a, b] → R 2 , jolle<br />
∀t1, t2 : r(t1) − r(t2) ≤ C|t1 − t2|.<br />
Vastaavan käyrän kaarenpituus välillä [a, b] on<br />
<br />
k<br />
ℓ(r, [a, b]) := sup<br />
j=1<br />
r(tj) − r(tj−1) : k ∈ Z + , a = t0 < t1 < t2 < · · · < tk = b<br />
Luku π ∈ R määritellään niin, että 2π on yksikköympyrän kehän pituus;<br />
π ≈ 3, 14159265.<br />
Vektorien u, v ∈ R 2 \ {(0, 0)} välinen kulma on kaarenpituus ℓ(kuv) ∈ [0, π],<br />
missä kuv on yksikköympyrän (lyhyempi) kaari pisteiden u/u ja v/v välillä.<br />
<strong>2.</strong>5 Trigonometriset funktiot [Adams P.6]<br />
Jatkuvat funktiot cos, sin : R → R (kosini ja sini) määritellään seuraavasti:<br />
(cos(t), sin(t)) ∈ R 2<br />
on se yksikköympyrän x 2 + y 2 = 1 piste, joka on pisteestä (1, 0) etäisyydellä t,<br />
kun kuljetaan ympyrää positiiviseen kiertosuuntaan.<br />
Tangentti<br />
tan(t) := sin(t)<br />
cos(t) ,<br />
kun cos(t) = 0. Funktiot cos, sin : R → R ovat jatkuvia. Jos<br />
<br />
cos(t) − sin(t)<br />
[R(t)] :=<br />
,<br />
sin(t) cos(t)<br />
niin [R(t + h)] = [R(t)][R(h)], mistä saadaan trigonometriset summakaavat. . .<br />
6<br />
<br />
.
3 Derivaatta<br />
3.1 Alkeet [Adams <strong>2.</strong>1-<strong>2.</strong>2]<br />
Määr. Olkoon S ⊂ R. Funktion f : S → R derivaatta pisteessä x ∈ S on<br />
f ′ (x) = d<br />
f(x) := lim<br />
dx h→0<br />
f(x + h) − f(x)<br />
.<br />
h<br />
Jos f ′ (x0) olemassa, on f derivoituva x0:ssa.<br />
Tulkinta: f ′ (x0) on käyrän y = f(x) tangentin kulmakerroin pisteessä (x0, f(x0)).<br />
Merkitään f (0) (x) = <br />
d 0 <br />
(n+1) (n) ′ d n+1<br />
f(x) ja f (x) = (f ) (x) = f(x).<br />
dx<br />
dx<br />
3.2 Derivaatan ominaisuuksia [Adams <strong>2.</strong>3]<br />
Jos f on derivoituva x0:ssa, niin f on jatkuva x0:ssa. Jos f, g derivoituvia, niin<br />
(f + g) ′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x), c ∈ R ⇒ (c f) ′ (x) = c f ′ (x),<br />
(fg) ′ (x) = f ′ (x) g(x) + f(x) g ′ ′<br />
1<br />
(x), (x) =<br />
f<br />
−f ′ (x)<br />
.<br />
f(x) 2<br />
d<br />
dx xn = n x n−1 .<br />
3.3 Väliarvolause ja nolladerivaatta [Adams 4.2, <strong>2.</strong>6, <strong>2.</strong>10]<br />
Määr. Funktiolla f : A → R on pisteessä x0 ∈ A<br />
paikallinen maksimi, jos ∃h > 0 ∀x ∈ A : |x − x0| < h ⇒ f(x) ≤ f(x0),<br />
ja paikallinen minimi, jos ∃h > 0 ∀x ∈ A : |x − x0| < h ⇒ f(x) ≥ f(x0).<br />
Paikallinen ääriarvokohta on paikallinen maksimi tai paikallinen minimi.<br />
Tulos: Olkoon x0 ∈ [a, b] jatkuvan funktion f : [a, b] → R paikallinen ääriarvokohta.<br />
Silloin joko (1) tai (2):<br />
(1) f ′ (x0) ei ole olemassa (tämä sisältää myös tapaukset x0 = a, x0 = b).<br />
(2) f ′ (x0) = 0.<br />
Seuraus (ns. Väliarvolause). Olkoon f : [a, b] → R jatkuva välillä [a, b] ja<br />
derivoituva välillä ]a, b[. Silloin<br />
∃x0 ∈]a, b[: f ′ (x0) =<br />
7<br />
f(b) − f(a)<br />
.<br />
b − a
Väliarvolauseen sovellus: Olkoon f :]a, b[→ R derivoituva. Silloin<br />
(1) ∀x ∈]a, b[: f ′ (x) ≥ 0 ⇒ f kasvava,<br />
(2) ∀x ∈]a, b[: f ′ (x) ≤ 0 ⇒ f vähenevä.<br />
Nolladerivaatan ongelma (Integraalilaskun peruslause):<br />
Millainen on f, jos f ′ (x) = 0 kaikilla x ∈ R?<br />
Vastaus: f on vakiofunktio.<br />
Määr. Jos F :]a, b[→ R on derivoituva, sanotaan, että funktio F on funktion<br />
F ′ :]a, b[→ R integraalifunktio, merkitään<br />
<br />
F ′ dx := F (x) + C,<br />
missä F ′ dx on F ′ :n ns. määräämätön integraali ja C ∈ R on (määräämätön)<br />
integroimisvakio.<br />
3.4 Trigonometristen funktioiden derivointi [Adams <strong>2.</strong>5]<br />
sin ′ (t) = cos(t) ja cos ′ (t) = − sin(t).<br />
3.5 Eksponentti ja logaritmi [Adams 3.2-3.4, 3.6]<br />
Määritellään exp : R → R kaavalla exp(t) :=<br />
Neperin luku e := exp(1) ≈ 2, 71828.<br />
Pätee esim. exp(t + h) = exp(t) exp(h) ja<br />
exp ′ = exp .<br />
∞<br />
k=0<br />
1<br />
k! tk .<br />
Luonnollinen logaritmi ln = exp −1 :]0, ∞[→ R.<br />
a-kantainen eksponenttikuvaus t ↦→ a t := exp(t ln(a)), kun a > 0; sen käänteisfunktio<br />
a-kantainen logaritmi log a :]0, ∞[→ R eli<br />
Hyperbolinen kosini cosh(t) := et + e −t<br />
log a(b) = ln(b)<br />
ln(a) .<br />
2<br />
ja hyperbolinen sini sinh(t) := et − e−t .<br />
2<br />
8
3.6 Ketjusääntö [Adams <strong>2.</strong>4]<br />
d<br />
dx f(g(x)) = f ′ (g(x)) g ′ (x).<br />
3.7 Käänteisfunktion derivaatta [Adams 3.1 (3.1-3.6)]<br />
Esim. d<br />
dx<br />
(g −1 ) ′ (g(x0)) = 1<br />
g ′ (x0) .<br />
1 d<br />
ln(x) = , joten<br />
x dx xa = . . . = ax a−1 , kun a ∈ R.<br />
3.8 Käyrän tangentti<br />
3.8.1 Implisiittinen derivointi [Adams <strong>2.</strong>9]<br />
Tason käyrän F (x, y) = 0 pisteessä (x0, y0) tangentti<br />
y − y0 = k(x − x0),<br />
missä (joskus) k = y ′ (x0) ratkaistaan yhtälöstä<br />
<br />
d <br />
F (x, y(x)) <br />
dx<br />
x=x0<br />
= 0.<br />
3.8.2 L’Hospitalin säännöt (L’Hôpital) [Adams 4.9]<br />
L’Hospitalin sääntö: Jos limx→x0 f(x) = 0 = limx→x0 g(x), missä f, g ovat<br />
derivoituvia x0:n lähellä (ei ehkä x0:ssa) ja g ′ (x) = 0 x0:n lähellä, niin<br />
Säännön muunnelmat:<br />
x0 = ±∞,<br />
lim . . . = ±∞.<br />
f(x)<br />
lim<br />
x→x0 g(x)<br />
f<br />
= lim<br />
x→x0<br />
′ (x)<br />
g ′ (x) .<br />
9
4 Derivaatan sovelluksia [Adams 4]<br />
4.1 Kuperuus ja f ′′ [Adams 4.3]<br />
Määritelmä. Derivoituva f (ja käyrä y = f(x)) on<br />
kupera ylös, jos f ′ on kasvava (esim. f(x) = x 2 ); [:)]<br />
kupera alas, jos f ′ on vähenevä (esim. f(x) = −x 2 ). [:(]<br />
x0 on f:n käännepiste, jos f:n kuperuussuunta vaihtuu x0:ssa.<br />
Huom.<br />
f ′′ > 0 ⇒ f ′ kasvava ⇒ f kupera ylös.<br />
f ′′ < 0 ⇒ f ′ vähenevä ⇒ f kupera alas.<br />
x0 käännepiste ja ∃f ′′ (x0) ∈ R ⇒ f ′′ (x0) = 0.<br />
f:n lokaalin ääriarvon f ′′ -testi:<br />
f ′ (x0) = 0 ja f ′′ (x0) < 0 ⇒ x0: ssa lokaali maksimi,<br />
f ′ (x0) = 0 ja f ′′ (x0) > 0 ⇒ x0: ssa lokaali minimi.<br />
4.2 Juuria etsimässä [Adams 4.6]<br />
Etsi yhtälön f(x) = 0 (jokin) ratkaisu x = r.<br />
4.<strong>2.</strong>1 Puolitusmenetelmä [hidas]<br />
Katso kohta <strong>2.</strong>3.<br />
4.<strong>2.</strong>2 Kiintopisteiteraatio [nopeahko]<br />
Katso kohta <strong>2.</strong>3.1.<br />
4.<strong>2.</strong>3 Newton-iteraatio [nopea, jos toimii]<br />
Halutaan löytää r, jolle f(r) = 0.<br />
Oletus: f ′ jatkuva ja f ′ (r) = 0.<br />
Alkuarvaus x0 ≈ r. Newton-iteraatio xk+1 := xk − f(xk)<br />
f ′ (xk) .<br />
10