Kompleksiluvut_ja_radiosignaalit
Kompleksiluvut_ja_radiosignaalit
Kompleksiluvut_ja_radiosignaalit
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
IMA-1 Excursio: <strong>Kompleksiluvut</strong> <strong>ja</strong> <strong>radiosignaalit</strong> / 1<br />
KOMPLEKSILUVUT, VÄRÄHTELIJÄT JA RADIOSIGNAALIT<br />
Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama<br />
TTY / Tietoliikennetekniikka<br />
jukka.talvitie@tut.fi, toni.levanen@tut.fi, mikko.e.valkama@tut.fi<br />
Tässä oleva esitys poh<strong>ja</strong>utuu pitkälti ao. kurssien sisältöön:<br />
• TLT-5200 Tietoliikenneteoria<br />
• TLT-5400 Digitaalinen siirtotekniikka<br />
Tarkoituksena on antaa esimerkkejä miten kompleksiluvut <strong>ja</strong><br />
värähtelevät (kaistanpäästö) signaalit liittyvät toisaalta toisiinsa <strong>ja</strong><br />
toisaalta langattomaan viestintään.<br />
Taustaa<br />
IMA-1 Excursio: <strong>Kompleksiluvut</strong> <strong>ja</strong> <strong>radiosignaalit</strong> / 2<br />
Kaikki langaton viestintä <strong>ja</strong> radiotietoliikenne (matkapuhelimet, WLANit,<br />
yleisradio <strong>ja</strong> –TV lähetykset, jne) perustuvat radioaaltojen eli<br />
tietyntaajuisen sähkömagneettisen säteilyn käyttöön<br />
• antennien tuottamaa <strong>ja</strong> vastaanottamaa<br />
• radiotaajuudet yleisesti 3 Hz … 300 GHz, eri osilla radiospektriä<br />
omat käyttötarkoituksensa<br />
Lähettimissä <strong>ja</strong> vastaanottimissa antennit toimivat ”muuntimina”<br />
sähkömagneettisen säteilyn <strong>ja</strong> sähköisten jännite-/virtasignaalien välillä<br />
• värähteleviä sähköisiä radiotaajuussignaaleita, yksinkertaisin<br />
esimerkki puhdas sini-/kosini aalto<br />
radio tie<br />
Varsinaisissa radiolaitteissa (lähetin/vastaanotin) näitä sähköisiä<br />
signaaleita prosessoidaan elektroniikkapiireillä, tarkoituksena mm.<br />
• muuntaa alkuperäinen informaatiosignaali (esim. puhe- tai datasignaali)<br />
juuri sopivantaajuiseksi radiosignaaliksi transmissiota<br />
varten (lähetin) <strong>ja</strong> takaisin (vastaanotin)<br />
• suodattaa vastaanottimessa siirtomedian läpi kulkeneesta<br />
signaalista pois mm. kohinaa <strong>ja</strong> muita häiriöitä
Sinimuotoiset signaalit<br />
IMA-1 Excursio: <strong>Kompleksiluvut</strong> <strong>ja</strong> <strong>radiosignaalit</strong> / 3<br />
Puhdas värähtelijä (sini/kosini) voidaan esittää muodossa<br />
vt () = Acos( ω t+ φ) = Acos(2 πft+ φ)<br />
0 0<br />
missä A on amplitudi, ω0 = 2πf0 on kulmataajuus ( f 0 on taajuus) <strong>ja</strong> φ<br />
on vaihekulma.<br />
Tällaisia puhtaita värähtelysignaaleita käytetään langattomassa<br />
viestinnässä ns. kantoaaltona, jonka jokin suure (esimerkiksi amplitudi<br />
tai vaihe) riippuu siirrettävästä informaatiosignaalista jollakin tavoin<br />
• mikä suure/suureet <strong>ja</strong> miten; riippuu käytettävästä<br />
modulaatiotavasta tai yleisemmin käytetystä tietoliikenneaaltomuodosta<br />
IMA-1 Excursio: <strong>Kompleksiluvut</strong> <strong>ja</strong> <strong>radiosignaalit</strong> / 4<br />
Sinimuotoisen signaalin kompleksinen esitysmuoto<br />
Kertaus(?): Eulerin kaavat<br />
± jθ<br />
e = cos θ ± jsinθ<br />
Vastaavasti toiseen suuntaan päästään<br />
jθ −jθ<br />
e<br />
cos θ =<br />
+ e<br />
2<br />
jθ<br />
= Re ⎡e⎤ ⎣ ⎦<br />
jθ −jθ<br />
e − e<br />
sin θ =<br />
2j<br />
jθ<br />
= Im ⎡e⎤ ⎣ ⎦<br />
Täten reaalinen värähtelijä voidaan esittää kahden kompleksisen<br />
konjugaatti-värähtelijän summana<br />
A A<br />
Acos( 0t<br />
) e e<br />
2 2<br />
j 0t+ − j 0t+<br />
ω + φ = +<br />
( ω φ) ( ω φ)<br />
Tämä muodostaa poh<strong>ja</strong>n mm. kaksipuoleiselle spektrianalyysille <strong>ja</strong> on<br />
muutenkin hyödyllinen yhteys värähtelevien signaaleiden analyysissä.<br />
j( ω0t φ)<br />
Kompleksinen eksponenttifunktio Ae + on kompleksiarvoinen<br />
suure jonka vaihekulma kasvaa a<strong>ja</strong>nfunktiona. Se voidaan esittää<br />
osoittimena, joka pyörii origon ympäri:<br />
Reaalinen värähtelijä vastaa osoittimen reaaliosaa.
Yleinen värähtely-/kaistanpäästösignaali<br />
IMA-1 Excursio: <strong>Kompleksiluvut</strong> <strong>ja</strong> <strong>radiosignaalit</strong> / 5<br />
Verrattuna puhtaaseen värästelijään vt () = Acos(2 πft 0 + φ)<br />
, yleisellä<br />
kaistanpäästösignaalilla vbp() t on a<strong>ja</strong>sta riippuva amplitudi At ()<br />
(verhokäyrä) <strong>ja</strong> vaihe φ () t :<br />
v () t = At ()cos( 2 πf t + φ()<br />
t )<br />
bp c<br />
Kun verhokäyrä At () <strong>ja</strong> vaihe φ () t muuttuvat hitaasti suhteessa<br />
värähtely-taajuuteen f c , on tällaisen signaalin taajuussisältö eli spektri<br />
keskittynyt taajuuden f c ympäristöön<br />
• tästä nimitys kaistanpäästösignaali<br />
• värähtelytaajuus f c on ns. keskitaajuus tai kantoaaltotaajuus<br />
Kaistanpäästösignaalin esitysmuodot<br />
IMA-1 Excursio: <strong>Kompleksiluvut</strong> <strong>ja</strong> <strong>radiosignaalit</strong> / 6<br />
Kuten puhtaita värähtelijöitä, myös yleistä kaistanpäästösignaalia<br />
j(2 πft+ φ(<br />
t))<br />
v () t = At ()cos( 2 πf t + φ()<br />
t ) = Re[ At () e c ] ,<br />
bp c<br />
voidaan a<strong>ja</strong>tella aikariippuvana kompleksilukuna<br />
(osoittimena) jonka reaaliosa kuvaa<br />
itse kaistanpäästösignaalia.<br />
Varsinaisen aaltomuotokäyttäytymisen<br />
kannalta olennaisia asioita ovat amplitudi-<br />
<strong>ja</strong> vaihefunktiot, joten osoittimen<br />
pyöriminen vakionopeudella voidaan jättää<br />
pois osoitinesityksestä.<br />
Tämä vastaa kuvitteellista kompleksista<br />
signaalia At ()exp( jφ ()) t jonka<br />
• etäisyys origosta a<strong>ja</strong>n funktiona<br />
(osoittimen pituus) kuvaa fysikaalisen<br />
signaalin verhokäyrää At ()<br />
• vaihekulma a<strong>ja</strong>n funktiona<br />
(osoittimen kulma Re-akseliin<br />
nähden) kuvaa fysikaalisen signaalin<br />
hetkellistä vaihetta φ () t<br />
Tämä johtaakin vaihtoehtoiseen matemaattiseen esitysmuotoon<br />
yleiselle kaistanpäästösignaalille:<br />
v () t = At ()cos( ω t + φ()) t = v ()cos( t ω t) − v ()sin( t ω t)<br />
bp c i c q c<br />
missä signaalin in-phase (I) -komponentti vi() t <strong>ja</strong> quadrature (Q) -<br />
komponentti vq() t ovat (todenna, suoraan lausekkeesta <strong>ja</strong>/tai kuvasta)<br />
v () t = At ()cos( φ())<br />
t<br />
i<br />
v () t = At ()sin( φ())<br />
t<br />
q<br />
vbp() t<br />
vlp() t
IMA-1 Excursio: <strong>Kompleksiluvut</strong> <strong>ja</strong> <strong>radiosignaalit</strong> / 7<br />
Kaistanpäästösignaalin esitysmuodot (<strong>ja</strong>tkoa)<br />
Edellisen perusteella kaistanpäästösignaalille on siis kaksi<br />
esitysmuotoa, jotka kumpikin määräytyvät kahdesta aikafunktiosta:<br />
1) At (), φ () t verhokäyrä <strong>ja</strong> vaihefunktio<br />
2) vi(), t vq() t vaihe- <strong>ja</strong> kvadratuuri (I/Q) komponentit<br />
Kumpaakin esitysmuotoa käytetään hyvin paljon radiosignaalien<br />
analyysissa <strong>ja</strong> prosessoinnissa, <strong>ja</strong> molemmilla esitysmuodoilla on omat<br />
vahvuutensa (esim. aaltomuoto-käyttäytyminen vs. spektrianalyysi).<br />
Näiden esitysmuotojen välillä on edellisten perusteella yhteydet:<br />
v () t = At ()cos φ()<br />
t<br />
i<br />
v () t = At ()sin φ()<br />
t<br />
q<br />
<strong>ja</strong> toisinpäin:<br />
2 2<br />
i q<br />
At () = v () t + v () t<br />
vq() t<br />
φ()<br />
t = arctan<br />
v () t<br />
i<br />
Osoitinesitys tulkittuna kompleksiluvuksi vastaa siis kompleksiarvoista<br />
signaalia<br />
jφ() t<br />
lp = = i + q<br />
v () t At () e v () t jv () t<br />
vlp() t<br />
Tätä kutsutaan alipäästöekvivalentiksi signaaliksi (lowpass equivalent),<br />
koska keskitaajuuden mukanaan tuoma värähtely (osoittimen<br />
pyöriminen vakionopeudella) on jätetty esityksestä pois.<br />
Kompleksisista signaaleista vielä<br />
Fysikaalista reaaliarvoista kaistanpäästösignaalia<br />
v () t = At ()cos(2 πf t + φ())<br />
t<br />
bp c<br />
= v( t) cos(2 πft) −v(<br />
t) sin(2 πft)<br />
i c q c<br />
vlp j2f t t e π ⎡ ⎤<br />
= Re ( ) c<br />
⎣ ⎦<br />
IMA-1 Excursio: <strong>Kompleksiluvut</strong> <strong>ja</strong> <strong>radiosignaalit</strong> / 8<br />
voidaan siis kuvata kompleksiarvoisen alipäästöekvivalentin signaalin<br />
v () t = v () t + jv () t<br />
lp i q<br />
j () t<br />
Ate ()<br />
φ<br />
=<br />
avulla. Tämä on kompleksiarvoinen signaali jonka<br />
• Re <strong>ja</strong> Im osat millä tahansa a<strong>ja</strong>n hetkellä kuvaavat fysikaalisen<br />
kaistanpäästösignaalin I <strong>ja</strong> Q komponentte<strong>ja</strong><br />
• Amplitudi <strong>ja</strong> vaihe millä tahansa a<strong>ja</strong>n hetkellä kuvaavat fysikaalisen<br />
kaistanpäästösignaalin verhokäyrää <strong>ja</strong> vaihetta<br />
Yleisesti ottaen kompleksisista signaaleissa ei ole sen kummempaa<br />
mystiikkaa<br />
• yksinkertaisesti kaksi rinnakkaista reaalista signaalia jotka<br />
kuljettavat/edustavat kompleksisen signaalin Re <strong>ja</strong> Im osia<br />
• prosessointi <strong>ja</strong> manipulointi kompleksi-aritmetiikkaa käyttäen
IMA-1 Excursio: <strong>Kompleksiluvut</strong> <strong>ja</strong> <strong>radiosignaalit</strong> / 9<br />
Esimerkki: Digitaalinen tiedonsiirtoaaltomuoto<br />
kompleksiluku<strong>ja</strong> hyödyntäen<br />
Digitaalisessa tiedonsiirrossa pohjimmainen tehtävä on siirtää jono<br />
bittejä lähettimestä vastaanottimeen käytettävissä olevan <strong>ja</strong>tkuvan<br />
siirtomedian (kaapeli, radiotie, jne) yli.<br />
Lähetin muodostaa siis siirtomedian ominaisuuksiin mahdollisimman<br />
hyvin sopivan <strong>ja</strong> siirrettäviä bittejä efektiivisesti mukanaan kuljettavan<br />
tietoliikenneaaltomuodon.<br />
I/Q moduloidussa digitaalisessa PAM tekniikassa käytetään hyväksi<br />
edelläkuvattua kaistanpäästösignaalirakennetta <strong>ja</strong> kompleksiarvoisia<br />
signaaleita s.e.<br />
• bitit kuvataan ensin valitun symboliaakkoston avulla kompleksiarvoisiksi<br />
symboleiksi; aakkoston koko <strong>ja</strong> rakenne on yksi<br />
suunnitteluparametreistä jolla kontrolloidaan mm. saavutettavaa<br />
bittinopeutta <strong>ja</strong> kohinaherkkyyttä<br />
• kompleksi-arvoisen symbolijonon yksittäiset symbolit välitetään<br />
kantoaallosta muodostettavan, värähtelevistä pulsseista koostuvan<br />
aaltomuodon avulla olennaisesti siten, että värähtelypulssien<br />
amplitudi <strong>ja</strong> vaihe kuljettavat symbolien amplitudia <strong>ja</strong> vaihetta<br />
Alla esimerkkinä ns. 4PSK (QPSK) <strong>ja</strong> 16QAM aakkostot<br />
IMA-1 Excursio: <strong>Kompleksiluvut</strong> <strong>ja</strong> <strong>radiosignaalit</strong> / 10<br />
Esimerkki: Digitaalinen tiedonsiirtoaaltomuoto<br />
kompleksiluku<strong>ja</strong> hyödyntäen (<strong>ja</strong>tkoa)<br />
Lähetettävän signaalin lauseke <strong>ja</strong> vastaava lohkokaavio kompleksisten<br />
signaalien avulla:<br />
∞<br />
⎡ ⎤<br />
j2πfct ⎢ m ⎥<br />
⎢ ∑<br />
⎥<br />
m=−∞<br />
xt () = Re e a gt ( −mT)<br />
⎣ ⎦<br />
Vastaava lauseke <strong>ja</strong> toteutus rinnakkaisten reaalisten signaalien avulla:<br />
xt () = 2cos(2 πft)<br />
Re[ a ]( gt−mT) ∞<br />
∑<br />
c m<br />
m=−∞<br />
∞<br />
∑<br />
− 2sin(2 πf<br />
t) Im[ a ] g( t −mT)<br />
c m<br />
m=−∞<br />
Tässä siis kantataajuisen signaalin reaali- <strong>ja</strong> imaginääriosilla<br />
moduloidaan kantoaallon kosini- <strong>ja</strong> sinikomponentte<strong>ja</strong>.
IMA-1 Excursio: <strong>Kompleksiluvut</strong> <strong>ja</strong> <strong>radiosignaalit</strong> / 11<br />
Esimerkki: Digitaalinen tiedonsiirtoaaltomuoto<br />
kompleksiluku<strong>ja</strong> hyödyntäen (<strong>ja</strong>tkoa)<br />
Yksittäiset I/Q moduloidut pulssit <strong>ja</strong> niiden summa, kantataajuisena<br />
pulssimuotona kanttipulssi<br />
Symbol Stream: −1−3i −1−1i 3+3i 1+3i −3+1i<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
−4<br />
−5<br />
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7<br />
Relative Time in Symbol Periods<br />
Symbol Stream: −1−3i −1−1i 3+3i 1+3i −3+1i<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
−4<br />
−5<br />
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7<br />
Relative Time in Symbol Periods<br />
Yksittäiset I/Q moduloidut pulssit <strong>ja</strong> niiden summa, kantataajuisena<br />
pulssimuotona pehmeämmin käyttäytyvä ns. nostettu kosinipulssi<br />
Symbol Stream: −1−3i −1−1i 3+3i 1+3i −3+1i<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
−4<br />
−5<br />
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7<br />
Relative Time in Symbol Periods<br />
Symbol Stream: −1−3i −1−1i 3+3i 1+3i −3+1i<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
−4<br />
−5<br />
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7<br />
Relative Time in Symbol Periods<br />
IMA-1 Excursio: <strong>Kompleksiluvut</strong> <strong>ja</strong> <strong>radiosignaalit</strong> / 12<br />
Esimerkki: Digitaalinen tiedonsiirtoaaltomuoto<br />
kompleksiluku<strong>ja</strong> hyödyntäen (<strong>ja</strong>tkoa)<br />
Kaikki moderni tiedonsiirto (matkaviestimet, WLANit, jne) poh<strong>ja</strong>utuu<br />
aaltomuototasolla edellä esitettyihin kaistanpäästösignaalien <strong>ja</strong><br />
kompleksilukujen peruskäsitteisiin.<br />
vlp() t<br />
Uusien tietoliikenneaaltomuotojen suunnittelu tarkoittaa<br />
”yksinkertaisesti” lähetettävän bittijonon kuvaamista sellaiseksi<br />
verhokäyräksi <strong>ja</strong> vaiheeksi (tai I <strong>ja</strong> Q komponenteiksi) joiden<br />
ominaisuudet sopivat käytetyn siirtomedian (radiokanava, kaapeli, tms)<br />
ominaisuuksiin mahdollisimman hyvin.