Kompleksiluvut_ja_radiosignaalit

IMA-1 Excursio: Kompleksiluvut ja radiosignaalit / 1 

KOMPLEKSILUVUT, VÄRÄHTELIJÄT JA RADIOSIGNAALIT 

Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama 

TTY / Tietoliikennetekniikka 

jukka.talvitie@tut.fi, toni.levanen@tut.fi, mikko.e.valkama@tut.fi 

Tässä oleva esitys pohjautuu pitkälti ao. kurssien sisältöön: 

• TLT-5200 Tietoliikenneteoria 

• TLT-5400 Digitaalinen siirtotekniikka 

Tarkoituksena on antaa esimerkkejä miten kompleksiluvut ja 

värähtelevät (kaistanpäästö) signaalit liittyvät toisaalta toisiinsa ja 

toisaalta langattomaan viestintään. 

Taustaa 


Kaikki langaton viestintä ja radiotietoliikenne (matkapuhelimet, WLANit, 

yleisradio ja –TV lähetykset, jne) perustuvat radioaaltojen eli 

tietyntaajuisen sähkömagneettisen säteilyn käyttöön 

• antennien tuottamaa ja vastaanottamaa 

• radiotaajuudet yleisesti 3 Hz … 300 GHz, eri osilla radiospektriä 

omat käyttötarkoituksensa 

Lähettimissä ja vastaanottimissa antennit toimivat ”muuntimina” 

sähkömagneettisen säteilyn ja sähköisten jännite-/virtasignaalien välillä 

• värähteleviä sähköisiä radiotaajuussignaaleita, yksinkertaisin 

esimerkki puhdas sini-/kosini aalto 

radio tie 

Varsinaisissa radiolaitteissa (lähetin/vastaanotin) näitä sähköisiä 

signaaleita prosessoidaan elektroniikkapiireillä, tarkoituksena mm. 

• muuntaa alkuperäinen informaatiosignaali (esim. puhe- tai datasignaali) 

juuri sopivantaajuiseksi radiosignaaliksi transmissiota 

varten (lähetin) ja takaisin (vastaanotin) 

• suodattaa vastaanottimessa siirtomedian läpi kulkeneesta 

signaalista pois mm. kohinaa ja muita häiriöitä

Sinimuotoiset signaalit 


Puhdas värähtelijä (sini/kosini) voidaan esittää muodossa 

vt () = Acos( ω t+ φ) = Acos(2 πft+ φ) 

0 0 

missä A on amplitudi, ω0 = 2πf0 on kulmataajuus ( f 0 on taajuus) ja φ 

on vaihekulma. 

Tällaisia puhtaita värähtelysignaaleita käytetään langattomassa 

viestinnässä ns. kantoaaltona, jonka jokin suure (esimerkiksi amplitudi 

tai vaihe) riippuu siirrettävästä informaatiosignaalista jollakin tavoin 

• mikä suure/suureet ja miten; riippuu käytettävästä 

modulaatiotavasta tai yleisemmin käytetystä tietoliikenneaaltomuodosta 


Sinimuotoisen signaalin kompleksinen esitysmuoto 

Kertaus(?): Eulerin kaavat 

± jθ 

e = cos θ ± jsinθ 

Vastaavasti toiseen suuntaan päästään 

jθ −jθ 

e 

cos θ = 

+ e 

2 

jθ 

= Re ⎡e⎤ ⎣ ⎦ 

jθ −jθ 

e − e 

sin θ = 

2j 

jθ 

= Im ⎡e⎤ ⎣ ⎦ 

Täten reaalinen värähtelijä voidaan esittää kahden kompleksisen 

konjugaatti-värähtelijän summana 

A A 

Acos( 0t 

) e e 

2 2 

j 0t+ − j 0t+ 

ω + φ = + 

( ω φ) ( ω φ) 

Tämä muodostaa pohjan mm. kaksipuoleiselle spektrianalyysille ja on 

muutenkin hyödyllinen yhteys värähtelevien signaaleiden analyysissä. 

j( ω0t φ) 

Kompleksinen eksponenttifunktio Ae + on kompleksiarvoinen 

suure jonka vaihekulma kasvaa ajanfunktiona. Se voidaan esittää 

osoittimena, joka pyörii origon ympäri: 

Reaalinen värähtelijä vastaa osoittimen reaaliosaa.

Yleinen värähtely-/kaistanpäästösignaali 


Verrattuna puhtaaseen värästelijään vt () = Acos(2 πft 0 + φ) 

, yleisellä 

kaistanpäästösignaalilla vbp() t on ajasta riippuva amplitudi At () 

(verhokäyrä) ja vaihe φ () t : 

v () t = At ()cos( 2 πf t + φ() 

t ) 

bp c 

Kun verhokäyrä At () ja vaihe φ () t muuttuvat hitaasti suhteessa 

värähtely-taajuuteen f c , on tällaisen signaalin taajuussisältö eli spektri 

keskittynyt taajuuden f c ympäristöön 

• tästä nimitys kaistanpäästösignaali 

• värähtelytaajuus f c on ns. keskitaajuus tai kantoaaltotaajuus 

Kaistanpäästösignaalin esitysmuodot 


Kuten puhtaita värähtelijöitä, myös yleistä kaistanpäästösignaalia 

j(2 πft+ φ( 

t)) 

v () t = At ()cos( 2 πf t + φ() 

t ) = Re[ At () e c ] , 

bp c 

voidaan ajatella aikariippuvana kompleksilukuna 

(osoittimena) jonka reaaliosa kuvaa 

itse kaistanpäästösignaalia. 

Varsinaisen aaltomuotokäyttäytymisen 

kannalta olennaisia asioita ovat amplitudi- 

ja vaihefunktiot, joten osoittimen 

pyöriminen vakionopeudella voidaan jättää 

pois osoitinesityksestä. 

Tämä vastaa kuvitteellista kompleksista 

signaalia At ()exp( jφ ()) t jonka 

• etäisyys origosta ajan funktiona 

(osoittimen pituus) kuvaa fysikaalisen 

signaalin verhokäyrää At () 

• vaihekulma ajan funktiona 

(osoittimen kulma Re-akseliin 

nähden) kuvaa fysikaalisen signaalin 

hetkellistä vaihetta φ () t 

Tämä johtaakin vaihtoehtoiseen matemaattiseen esitysmuotoon 

yleiselle kaistanpäästösignaalille: 

v () t = At ()cos( ω t + φ()) t = v ()cos( t ω t) − v ()sin( t ω t) 

bp c i c q c 

missä signaalin in-phase (I) -komponentti vi() t ja quadrature (Q) - 

komponentti vq() t ovat (todenna, suoraan lausekkeesta ja/tai kuvasta) 

v () t = At ()cos( φ()) 

t 

i 

v () t = At ()sin( φ()) 

t 

q 

vbp() t 

vlp() t


Kaistanpäästösignaalin esitysmuodot (jatkoa) 

Edellisen perusteella kaistanpäästösignaalille on siis kaksi 

esitysmuotoa, jotka kumpikin määräytyvät kahdesta aikafunktiosta: 

1) At (), φ () t verhokäyrä ja vaihefunktio 

2) vi(), t vq() t vaihe- ja kvadratuuri (I/Q) komponentit 

Kumpaakin esitysmuotoa käytetään hyvin paljon radiosignaalien 

analyysissa ja prosessoinnissa, ja molemmilla esitysmuodoilla on omat 

vahvuutensa (esim. aaltomuoto-käyttäytyminen vs. spektrianalyysi). 

Näiden esitysmuotojen välillä on edellisten perusteella yhteydet: 

v () t = At ()cos φ() 

t 

i 

v () t = At ()sin φ() 

t 

q 

ja toisinpäin: 

2 2 

i q 

At () = v () t + v () t 

vq() t 

φ() 

t = arctan 

v () t 

i 

Osoitinesitys tulkittuna kompleksiluvuksi vastaa siis kompleksiarvoista 

signaalia 

jφ() t 

lp = = i + q 

v () t At () e v () t jv () t 

vlp() t 

Tätä kutsutaan alipäästöekvivalentiksi signaaliksi (lowpass equivalent), 

koska keskitaajuuden mukanaan tuoma värähtely (osoittimen 

pyöriminen vakionopeudella) on jätetty esityksestä pois. 

Kompleksisista signaaleista vielä 

Fysikaalista reaaliarvoista kaistanpäästösignaalia 

v () t = At ()cos(2 πf t + φ()) 

t 

bp c 

= v( t) cos(2 πft) −v( 

t) sin(2 πft) 

i c q c 

vlp j2f t t e π ⎡ ⎤ 

= Re ( ) c 

⎣ ⎦ 


voidaan siis kuvata kompleksiarvoisen alipäästöekvivalentin signaalin 

v () t = v () t + jv () t 

lp i q 

j () t 

Ate () 

φ 

= 

avulla. Tämä on kompleksiarvoinen signaali jonka 

• Re ja Im osat millä tahansa ajan hetkellä kuvaavat fysikaalisen 

kaistanpäästösignaalin I ja Q komponentteja 

• Amplitudi ja vaihe millä tahansa ajan hetkellä kuvaavat fysikaalisen 

kaistanpäästösignaalin verhokäyrää ja vaihetta 

Yleisesti ottaen kompleksisista signaaleissa ei ole sen kummempaa 

mystiikkaa 

• yksinkertaisesti kaksi rinnakkaista reaalista signaalia jotka 

kuljettavat/edustavat kompleksisen signaalin Re ja Im osia 

• prosessointi ja manipulointi kompleksi-aritmetiikkaa käyttäen


Esimerkki: Digitaalinen tiedonsiirtoaaltomuoto 

kompleksilukuja hyödyntäen 

Digitaalisessa tiedonsiirrossa pohjimmainen tehtävä on siirtää jono 

bittejä lähettimestä vastaanottimeen käytettävissä olevan jatkuvan 

siirtomedian (kaapeli, radiotie, jne) yli. 

Lähetin muodostaa siis siirtomedian ominaisuuksiin mahdollisimman 

hyvin sopivan ja siirrettäviä bittejä efektiivisesti mukanaan kuljettavan 

tietoliikenneaaltomuodon. 

I/Q moduloidussa digitaalisessa PAM tekniikassa käytetään hyväksi 

edelläkuvattua kaistanpäästösignaalirakennetta ja kompleksiarvoisia 

signaaleita s.e. 

• bitit kuvataan ensin valitun symboliaakkoston avulla kompleksiarvoisiksi 

symboleiksi; aakkoston koko ja rakenne on yksi 

suunnitteluparametreistä jolla kontrolloidaan mm. saavutettavaa 

bittinopeutta ja kohinaherkkyyttä 

• kompleksi-arvoisen symbolijonon yksittäiset symbolit välitetään 

kantoaallosta muodostettavan, värähtelevistä pulsseista koostuvan 

aaltomuodon avulla olennaisesti siten, että värähtelypulssien 

amplitudi ja vaihe kuljettavat symbolien amplitudia ja vaihetta 

Alla esimerkkinä ns. 4PSK (QPSK) ja 16QAM aakkostot 



kompleksilukuja hyödyntäen (jatkoa) 

Lähetettävän signaalin lauseke ja vastaava lohkokaavio kompleksisten 

signaalien avulla: 

∞ 

⎡ ⎤ 

j2πfct ⎢ m ⎥ 

⎢ ∑ 

⎥ 

m=−∞ 

xt () = Re e a gt ( −mT) 

⎣ ⎦ 

Vastaava lauseke ja toteutus rinnakkaisten reaalisten signaalien avulla: 

xt () = 2cos(2 πft) 

Re[ a ]( gt−mT) ∞ 

∑ 

c m 

m=−∞ 

∞ 

∑ 

− 2sin(2 πf 

t) Im[ a ] g( t −mT) 

c m 

m=−∞ 

Tässä siis kantataajuisen signaalin reaali- ja imaginääriosilla 

moduloidaan kantoaallon kosini- ja sinikomponentteja.




Yksittäiset I/Q moduloidut pulssit ja niiden summa, kantataajuisena 

pulssimuotona kanttipulssi 

Symbol Stream: −1−3i −1−1i 3+3i 1+3i −3+1i 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

−1 

−2 

−3 

−4 

−5 

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 

Relative Time in Symbol Periods 


5 

4 

3 

2 

1 

0 

−1 

−2 

−3 

−4 

−5 

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 


Yksittäiset I/Q moduloidut pulssit ja niiden summa, kantataajuisena 

pulssimuotona pehmeämmin käyttäytyvä ns. nostettu kosinipulssi 


5 

4 

3 

2 

1 

0 

−1 

−2 

−3 

−4 

−5 

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 



5 

4 

3 

2 

1 

0 

−1 

−2 

−3 

−4 

−5 

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 





Kaikki moderni tiedonsiirto (matkaviestimet, WLANit, jne) pohjautuu 

aaltomuototasolla edellä esitettyihin kaistanpäästösignaalien ja 

kompleksilukujen peruskäsitteisiin. 

vlp() t 

Uusien tietoliikenneaaltomuotojen suunnittelu tarkoittaa 

”yksinkertaisesti” lähetettävän bittijonon kuvaamista sellaiseksi 

verhokäyräksi ja vaiheeksi (tai I ja Q komponenteiksi) joiden 

ominaisuudet sopivat käytetyn siirtomedian (radiokanava, kaapeli, tms) 

ominaisuuksiin mahdollisimman hyvin.

Kompleksiluvut_ja_radiosignaalit

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?