INTEGROINNIN SOVELLUKSIA TIEDONSIIRTOTEKNIIKASSA ...

IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 1 

INTEGROINNIN SOVELLUKSIA TIEDONSIIRTOTEKNIIKASSA 

Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama 

TTY / Tietoliikennetekniikka 

jukka.talvitie@tut.fi, toni.levanen@tut.fi, mikko.e.valkama@tut.fi 

Tässä oleva esitys pohjautuu mm. ao. kurssien sisältöön: 

TLT-5400 Digitaalinen siirtotekniikka 

TLT-5906 Digitaalisen siirtotekniikan jatkokurssi 

Tarkoituksena on antaa esimerkkejä integraalifunktioiden merkityksestä 

modernissa tietoliikennetekniikassa. 

Taustaa 


Integraalilaskennan merkitys tietoliikennetekniikalle on merkittävä. 

Vaikka modernit tietoliikennejärjestelmät tukeutuvatkin pääosin 

diskreettiä informaatiota kuljettavaan digitaalitekniikkaan, itse 

tiedonsiirtoon käytetyt signaalit ovat yhä jatkuva-aikaisia. 

Langattomassa tietoliikenteessä tällaiset tiedonsiirtosignaalit ovat 

tunnetusti sähkömagneettisia (radio)aaltoja. Huomaa, että puhtaasti 

diskreetin signaalin luominen on fysiikan lakien mukaan mahdotonta, 

sillä se vaatii äärettömän nopeita muutoksia signaalin vasteessa. 

Tämän vuoksi digitaalisessa siirtotekniikassa pyritäänkin vain 

muokkaamaan/painottamaan tiettyä jatkuva-aikaista aaltomuotoa 

etukäteen määritetyillä, siirrettävistä biteistä johdetuilla, diskreeteillä 

arvoilla (symboli). 

Jatkuva-aikaisuudesta johtuen tiedonsiirtojärjestelmää joudutaan 

mallintamaan integraalien avulla. Eräitä yleisiä tietoliikennetekniikassa 

esiintyviä integraalifunktioita ovat konvoluutio, Fourier-muunnos ja 

korrelaatio. Näistä konvoluutio toimii perustana kaikkien lineaaristen 

järjestelmien vasteanalyysissä, Fourier-muunnos mahdollistaa signaalin 

tarkastelun taajuustasossa ja korrelaatio mittaa kahden vertailtavan 

signaalien samankaltaisuutta. 

Yleisesti ottaen saattaa vaikuttaa, että näiden integraalien merkitys jää 

pelkästään teorian tasolle. Tämä intuitio on kuitenkin kauttaaltaan 

väärä. Kaikki mainitut integraalifunktiot toimivat tärkeässä osassa 

moderneissa tietoliikennejärjestelmissä ja luovat perustan niiden 

toiminnalle ja analyysille. Esimerkiksi korrelaatio on erittäin 

olennaisessa osassa GPS-paikannuksessa, 3-3.5Gmatkapuhelinverkoissa 

sekä erilaisissa militäärisovelluksissa (kts. 

kurssi Spread Spectrum Techniques TLT-5606). Fourier-muunnosta 

taas voi käyttää puhtaan taajuustason analyysin sijasta myös 

esimerkiksi vähentämään tarvittavien laskutoimitusten määrää. 

Monessa tapauksessa laskutoimituksen tekeminen taajuustasossa voi 

olla merkittävästi yksinkertaisempaa kuin aikatasossa.

Fourier-muunnos 


1800-luvun alussa ranskalainen matemaatikko ja fyysikko Joseph 

Fourier (1768-1830) tutki niin kutsuttua lämmönsiirtymisilmiötä. 

Tutkimuksen keskipisteenä oli kappaleen lämpöjakaumaa kuvaava 

lämpöyhtälö. Tähän osittaisdifferentiaaliyhtälöön ei ennen Fourierin 

panosta ollut löydetty yleistä ratkaisua. Erikoisratkaisuja oli kyllä esitetty 

mutta vain tapauksille, joissa lämmönlähde toimi tietyllä tavalla tuottaen 

tarkalleen sinimuotoista aaltoa. Fourierin ydinideana oli tällöin jakaa 

lämmönlähteen monimutkainen malli (funktio) yksinkertaisten sini- ja 

kosinifunktioiden summaksi. Näin ollen myös yhtälön yleinen ratkaisu 

saataisiin näiden sinifunktioiden tuottamien erikoisratkaisujen 

summana. Kyseinen Fourierin kehittämä sinifunktioiden summa 

tunnetaan nykyään yleisesti nimellä Fourier-sarja. Vaikka Fourierin 

julkaisu (”Théorie analytique de la chaleur”, v. 1822, kts. esim. Google 

books) ei alun perin ollutkaan täysin matemaattisesti täsmällinen, sen 

merkitys tiedeyhteisölle oli mullistava. 

Ratkoessaan kyseistä lämmönsiirtymisongelmaa, Fourier avasi ovet 

lukemattomien eri tieteenhaarojen uudenlaiseen analyysin. Tuskin hän 

osasi itsekään ennustaa, että tämä kyseinen ”lämpöyhtälön ratkaisu” 

olisi hyödynnettynä miltei 200 vuotta myöhemmin lähes kaikessa 

modernissa 2000-luvun kulutuselektroniikassa. Fourier-analyysin laajaalainen 

suosio perustuukin sen sisältämään taajuustason käsitteeseen, 

joka on merkittävä työkalu mm. äänen- ja kuvankäsittelyssä, sekä 

erityisesti tietoliikenteessä, jossa taajuustaso ilmenee myös tärkeänä 

tiedonsiirtoresurssina. 

Hyödyntäen Fourier-sarjaa ja tuttua Eulerin kaavaa (e jθ =cos(θ)+jsin(θ)), 

määritellään Fourier-muunnos (spektri) V(f) funktiolle v(t) seuraavasti: 

() = F é 

ë 

¥ 

() ù 

û = ò 

-¥ 

() -j2p 

ft 

V f vt vte dt 

Vaikka kyseinen muunnoskaava saattaakin vaikuttaa ensikertalaiselle 

hatusta vedetyltä, sille löytyy varsin intuitiivinen selitys esimerkiksi 

korrelaation käsitteestä (kts. s.11). Olennaista on kuitenkin ymmärtää, 

että muunnos V(f) esittää funktion v(t) spektriä (taajuussisältöä) 


taajuuden f funktiona. On myös syytä huomata, että Fourier-muunnos 

(spektri) on kompleksinen funktio, jossa |V(f)| on amplitudispektri ja 

arg(V(f)) on vaihespektri. Usein puhuttaessa pelkästä spektristä, 

viitataan nimenomaan amplitudispektriin, sillä se ilmaisee tietyllä 

taajuusalueella sijaitsevan energian määrän. Vaihespektri ei useinkaan 

ole kovin kiinnostava niillä taajuusalueilla, joilla signaalienergiaa ei 

esiinny. 

Jos signaalin spektri V(f) on tiedossa ja halutaan selvittää vastaava 

aikatason signaali v(t), voidaan käyttää käänteistä Fourier-muunnosta: 

-1 

j2pft v( t) = F [ V( f) ] = ò V( f) e df 

¥ 

-¥ 

Tästä voidaan suoraan päätellä Fourier-muunnoksen yksikäsitteisyys 

eli, että tietyllä funktiolla v(t) on yksikäsitteinen spektri V(f) ja 

päinvastoin. 

Otetaan seuraavaksi tarkasteluun yksinkertainen esimerkkitapaus ja 

lasketaan suorakaidepulssin v(t) Fourier-muunnos. Pulssi v(t) on 

määritelty seuraavasti (ks. seuraavat kuvat): 

ì ïA 

t < t /2 

vt () = ï 

í 

ï 

ïî 

0 t > t /2 

Sijoitetaan nyt v(t) suoraan Fourier-muunnoksen määritelmään, jolloin 

integroimalla saadaan spektri V(f):

V( f) 

= 

¥ 

ò 


-j2pft 

vte () dt 

-¥ 

t /2 

-j2pft ò Ae dt 

-t 

/2 

é 

A ê 

êë t /2 

1 -j2pft 

ù 

e ú 

j2pf úû-t/2 

= = - 

1 -jpft 

jpft =-A ( e -e 

) 

j2pf 1 -jpft 

jpft =-A ( e -e 

) 

j2pf - 

A At e - e 

= sin pft = sin pft sin z = 

pf pft 2j 

sin() 

z 

= Atsinc ft sinc( z) 

= 

z 

jz jz 

Funktio v(t) ja sen periaatteellinen amplitudispektri |V(f)| on esitetty alla 

olevassa kuvassa. 

Korrelaatio 


Korrelaation käsitteen avulla voidaan yksinkertaisesti vertailla kahden 

eri funktion/signaalin samankaltaisuutta. 

MOT Kielitoimiston sanakirja 2.0:n käännös sanalle korrelaatio: 

”vastaavuus(suhde); mat. kahden suureen välinen riippuvuus” 

Korrelaation käsitettä käytetään lukuisissa eri tietoliikennesovelluksissa, 

kuten esimerkiksi 3-3.5G-matkapuhelinverkoissa (UMTS+HSPDA). 

Toisin kuin vanhemmissa 1-2G matkapuhelinstandardeissa (NMT, 

GSM, kts. esim. aiempi Sitikka-materiaali ”Lineaarialgebra ja 

moniantennitekniikat”), joissa eri käyttäjien radiosignaalit lähetetään eri 

aikaan eri taajuuksilla, 3-3.5G- standardit toimivat asynkronisesti 

samalla taajuudella. Tämä tarkoittaa periaatteessa sitä, että yksi 

käyttäjä havaitsee kaikkien käyttäjien signaalit päällekkäin omassa 

vastaanottimessaan. Jotta eri käyttäjät ja tukiasemat voitaisiin tässä 

tapauksessa erotella toisistaan, käytetään tietynlaisia ennalta valittuja 

signaaliin sisällytettyjä käyttäjä- ja tukiasemakohtaisia koodirakenteita. 

Toisin sanoen, jos esimerkiksi halutaan vastaanottaa dataa jostain 

tietystä lähteestä, yritetään löytää vastaanotetusta signaalista 

samankaltaisuutta kyseisen lähteen käyttämän koodirakenteen kanssa 

(eli koodin korrelaatio vastaanotetun signaalin kanssa). Jos haettu 

rakenne löytyy, signaali voidaan monen välivaiheen jälkeen lopulta 

”purkaa” alkuperäiseksi lähetetyksi dataksi. 

Korrelaation merkitys on lisäksi erityisen merkittävää GPSpaikannuksessa, 

sillä satelliitista lähetetyn signaalin ns. korrelaatioominaisuudet 

määräävät pitkälti järjestelmän paikannustarkkuuden ja - 

nopeuden. Tähän aiheeseen liittyen annetaan esimerkki hieman 

myöhemmin, kunhan korrelaation määritelmä on ensin tullut tutuksi. 

Kuten luvun alussa ollut sanakirjakäännös jo hieman vihjaakin, 

korrelaatiota käytetään samankaltaisuuden ilmaisemisen lisäksi myös 

tilastollisen riippuvuuden ilmaisuun. Korrelaatiota riippuvuuden mittarina 

käytetään esimerkiksi tilastollisissa tutkimuksissa etsimään 

riippuvuuksia eri muuttujien välille (huom. eri asia kuin syy-seuraus 

suhde). Tässä esityksessä nojaudutaan kuitenkin tietoliikennetekniikan 

sovelluksiin, jossa korrelaatiota hyödynnetään enemmän nimenomaan


samankaltaisuuden mittarina. Toisaalta, koska korrelaatio on selvästikin 

mitta-arvo jollain ”mitta-asteikolla”, herää kysymys: ”Miten tällaista 

samankaltaisuutta/korrelaatiota voidaan mitata? Millainen on se 

asteikko, jonka avulla perustellaan kahden signaalin olevan 

samankaltaisia?” 

Intuitiivinen lähestymistapa yksikäsitteisen korrelaation mitta-asteikon 

muodostamiseksi liittyy vahvasti signaalin energian käsitteeseen. 

Signaalin z(t) energia Ez voidaan kätevästi määritellä aikaintegraalina 

(jälleen yksi integraali ), jossa signaalin amplitudin neliö integroidaan 

koko signaalin ajallisen keston yli: 

¥ ¥ 

2 

ò ò 

* 

Ez 

= zt () dt= ztz () () tdt 

-¥ -¥ 

Tässä yläindeksi * viittaa kompleksikonjugaattiin. Pyritään seuraavaksi 

määrittelemään korrelaation käsite tarkastelemalla mielivaltaisia 

kompleksitason signaaleita v(t) ja w(t). Jos oletetaan, että kyseiset 

signaalit samankaltaisia, niin silloinhan niiden välisen erotuksen 

z(t)=v(t)-w(t), tai oikeastaan erotuksen energian, tulisi olla pieni. 

Käytetään nyt energian määritelmää ja tutkitaan mikä on kyseisen 

erotussignaalin energian suuruus: 

energian määritelmä 

 

¥ ¥ 

* * * 

ò ò 

Ez= z( t) z ( tdt ) = év( t) w( t) ùév ( t) w ( t) ù 

ë - ûë - ûdt 

-¥ -¥ 

¥ 

* * 

ò 

* * 

= vtv () () t -vtw 

() () t - wtv () () t + wtw () () tdt 

-¥ 

¥ 

ò 

= vtv () () t - * * v() t w () t - w() t v () t dt + 

* w() t w () t dt 

- 

¥ 

-¥ - 

¥ 

E 

v 

* 

¥ 

ò 

¥ 

é ù 

= Ev + Ew -2Re 

ê v( t) w* ( tdt ) ú 

êòú ê ú 

ë-¥ û 

¥ 

ò 

E 

w 


Yhtälön viimeinen rivi pohjautuu tutulle kompleksilukujen 

laskusäännölle: z+z*=2Re[z]. Yhtälöstä nähdään suoraan, että jos 

viimeisen rivin integraalin arvo on suuri, niin signaaleiden erotuksen 

energia on pieni ja signaalit ovat täten samankaltaisia (ainakin tässä 

mielessä). Huomaa myös, että signaalien energioiden arvoilla Ev ja Ew ei 

ole samankaltaisuuden osalta merkitystä, sillä ne riippuvat vain 

signaaleista itsestään. 

Yritetään nyt siis käyttää kyseistä integraalia samankaltaisuuden 

mittana ja määritellään (risti)korrelaatio signaalien v(t) ja w(t) välille 

seuraavasti: 

R ( t) = v( t) w ( t -t) 

dt 

vw 

¥ 

ò 

-¥ 

* 

Huomaa, että korrelaation määritelmä on funktio viiveparametrin τ 

suhteen. Toisin sanoen, korrelaatio mittaa samankaltaisuutta signaalin 

v(t) ja signaalin w(t) viivästettyjen versioiden välillä. Tämä on erityisen 

olennaista monessa tietoliikennesovelluksessa, sillä lähetetyn signaalin 

vaihetta/viivettä ei aina vastaanottimessa tunneta (viivehän riippuu mm. 

lähettimen ja vastaanottimen välisestä etäisyydestä). 

Mikäli korrelaatio lasketaan signaalin itsensä kanssa, puhutaan 

autokorrelaatiosta. Tämä määritellään täsmälleen samalla tavalla kuin 

ristikorrelaatio mutta siten, että korreloitavat signaalit ovat samat: 

R () t = R () t = v() t v ( t -t) 

dt 

v vv 

¥ 

ò 

-¥ 

* 

Erityisesti autokorrelaation määritelmässä viiveen τ merkitys on 

perusteltua. Muutenhan, pelkästään määrittelemällä τ=0, laskettaisiin 

yksinkertaisesti vain signaalin energiaa. 

Kuten jo aiemmin mainittiin, GPS-paikannuksessa korrelaatio on 

olennaisessa osassa järjestelmän suorituskyvyn kannalta. 

Satelliittipaikannus perustuu signaalin saapumisajan mittaamiseen 

(Time-of-Arrival). Jos tiedetään satelliitin sijainti, signaalin lähetysaika, 

signaalin etenemisnopeus ja signaalin vastaanottoaika, satelliitin ja


GPS-vastaanottimen välinen etäisyys saadaan laskettua. Edelleen jos 

tiedetään etäisyys useampaan satelliittiin, saadaan määritettyä 

paikkakoordinaatit pituus-, leveys- ja korkeussuunnassa. Täydellisesti 

synkronisen järjestelmän tapauksessa (kaikki satelliittien ja GPSvastaanottimien 

kellot täsmälleen samassa ajassa) paikannusongelman 

ratkaisu olisi melko suoraviivainen. Tämänkaltaisen synkronisuuden 

saavuttaminen on kuitenkin käytännöllisesti katsoen mahdotonta. 

Huomaa, että jo yhden mikrosekunnin virhe kellossa aiheuttaa noin 

300m:n etäisyysvirheen (mikrosekunti kertaa valonnopeus). 

Edellä mainittujen seikkojen vuoksi jokaisen satelliitin signaalin on 

sisällytetty ajalliselta kestoltaan 1ms pituinen satelliittikohtainen 1023 

merkkiä pitkä binäärinen koodi. Tämä koodi rakennetaan ns. ”chipeistä” 

(1μs/chip), jotka saavat arvoja -1 ja 1. Kun GPS-paikannin kytketään 

päälle, se alkaa korreloida (etsiä) järjestelmän radiotaajuuksilta 

signaaleita, joista löytyy vastaavaa rakennetta tunnettujen satelliittien 

koodien kanssa. Koska lähetetyn signaalin vaihetta ei tunneta, etsintä 

täytyy suorittaa koodin eri vaiheiden kanssa, aivan kuten korrelaation 

määritelmässä oleva viivetermi τ osoittaa. Mikäli korrelaation arvo 

vastaanotetun signaalin ja jonkin satelliitin viivästetyn koodin välillä 

kasvaa tarpeeksi suureksi, satelliitti ja sen lähettämän signaalin viive 

voidaan olettaa löydetyksi. Tässä vaiheessa viive löydetään vain 

suhteessa millisekuntiin (koodin pituus 1ms). Vielä ei kuitenkaan tiedetä 

”mikä millisekunti” on kyseessä. 

Satelliittien koodit on suunniteltu siten, että niiden 

autokorrelaatiofunktiot ovat impulssimaisia (piikki nollaviiveellä mutta 

muuten lähellä nollaa). Lisäksi, jotta eri satelliittien signaalit eivät 

häiritsisi toisiaan, koodien (risti)korrelaatio saa suhteellisen pieniä 

arvoja kaikilla viiveillä. Seuraavissa kuvissa on esitelty oikeiden GPSsatelliittien 

koodien välisiä korrelaatiofunktioita (huom. viive [chip] on 

käytännössä sama kuin korrelaatiokaavoissa esiintyvä τ). 


Satelliitin #1 autokorrelaatiofunktio (vas.) ja korrelaatiofunktio saman signaalin ja 

sen viivästyneen (155 chippiä) version välillä (oik.) 

Normalisoitu autokorrelaatiofunktion arvo 

1 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 

viive [chip] 

Normalisoitu ristikorrelaatiofunktion arvo 

1 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 

viive [chip] 

Ristikorrelaatio satelliittien #1 ja #2 koodien välillä 

Normalisoitu ristikorrelaatiofunktion arvo 

1 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 

viive [chip] 

Kuten moni GPS-järjestelmää käyttänyt on varmastikin huomannut, 

satelliittien haku laitteen käynnistyessä saattaa joskus viedä 

turhauttavan kauan aikaa. Tämä johtuu juuri siitä, että satelliittien 

signaaleita joudutaan etsimään kaikilla eri koodeilla ja niiden eri 

vaiheilla (n. 30 satelliittia → saman verran eri koodeja). Tämän lisäksi, 

johtuen taajuusvirheistä, signaaleita joudutaan etsimään myös eri 

taajuuksilta. Käynnistysvaihetta helpottamaan onkin luotu ns. avustava 

GPS (A-GPS), jossa vastaanotin hakee etukäteen mobiiliverkon kautta 

lähellä olevalta tukiasemalta tietoja satelliittien sijainneista ja muista 

parametreista. Tämä taas on intuitiivisesti järkevää, sillä tukiaseman ja 

vastaanottimen havaitsevat signaalit ole läheisestä sijainnista (verraten 

valonnopeuteen ja etäisyyteen) johtuen melko samanlaisia - korreloivia.


Paluu Fourier-muunnokseen – korrelaatiotulkinta 

Palataan vielä taaksepäin ja tarkastellaan uudestaan Fouriermuunnoksen 

määritelmää: 

() = F é 

ë 

¥ 

() ù 

û = ò 

-¥ 

() -j2p 

ft 

V f vt vte dt 

Verrataan tätä nyt korrelaation määritelmään: 

R ( t) = v( t) w ( t -t) 

dt 

vw 

¥ 

ò 

-¥ 

* 

Huomataan, että Fourier-muunnos voidaan tulkita taajuudella f 

värähtelevän eksponenttivärähtelijän (viive nolla) ja muunnettavan 

signaalin väliseksi korrelaatioksi. Näin ollen voidaankin ajatella, että 

signaalin spektri lasketaan etsimällä signaalista ”vastaavanlaisuuksia” 

jokaiselle taajuusakselilla sijaitsevalle värähtelijälle. Toisin sanoen, 

taajuudella f värähtelevä eksponenttifunktio ”poimii” signaalista 

kyseisellä taajuudella olevan energian. 

Lasketaan esimerkin vuoksi taajuudella fc=1/τ värähtelevän 

eksponenttifunktion (kuva yllä) korrelaatio tutun suorakaidepulssin 

kanssa (kts. s. 5). Suoraan määritelmän mukaan korrelaatioksi nollaviiveellä 

saadaan: 

R 

vg 

(0) = 

¥ 

ò 


2p 

-j 

t 

t 

vte () dt 

-¥ 

t /2 2p -j t 

Ae t ò dt 

-t 

/2 

é 

A ê 

ë 

2ptt/2 

t -j 

ù 

e t ú 

j2p 

ú 

û-t/2 

t 

2pt -j 

2t 2pt 

j 

2t 

= = - 

=-A ( e 

j2p 

- e ) = 

t -jp 

=-A ( e 

j2p = 0 

jp 

t 

- e ) =-A ( -1 -( -1)) 

j2p 

Arvoksi tulee nolla, joten suorakaidepulssi ei korreloi (ei ole lainkaan 

samankaltainen) tällaisen taajuudella värähtelevän eksponenttifunktion 

kanssa. Nyt on hyvä palata katsomaan jo aiemmin määritettyä 

suorakaidepulssin spektriä (s.5). Mikä onkaan spektrin arvo taajuudella 

1/τ? 

Entä mitä tapahtuu jos korreloit suorakaidepulssia nollataajuisella 

eksponenttivärähtelijällä? Mikä on tällöin korrelaation arvo (helppo 

laskea: integroidaan vain vakiota) ja miten se näkyy spektrissä?

Konvoluutio 


Konvoluutio on tärkeä työkalu kaikenlaisten lineaaristen järjestelmien 

vasteanalyysissä, eli toisin sanoen tutkittaessa järjestelmän 

sisäänmenon ja ulostulon suhdetta. Tietoliikennetekniikassa lineaarisia 

järjestelmämalleja voidaan käyttää mm. kuvaamaan 

tietoliikennekanavan vastetta. Esimerkiksi langattomassa ympäristössä 

kanava muuttuu toistuvasti ajan funktiona aiheuttaen lähetetylle 

signaalille sekä amplitudi- että vaihevääristymää. Tämän huomioiminen 

vastaanottimessa, tavalla tai toisella, on tietysti olennaisen tärkeää ja se 

vaatiikin tarkkaa vasteanalyysia. 

sisäänmeno 

Lineaarinen 

ulostulo 

x(t) 

järjestelmä 

y(t) 

Vasteanalyysi perustuu ns. impulssivasteen h(t) käsitteeseen, joka 

kuvaa järjestelmän ulostulon, kun sisäänmenoksi asetetaan impulssi 

(ajan hetkellä nolla impulssi saa arvon yksi, muuten nolla). Tällöin 

ulostulo y(t) mielivaltaiselle signaalille x(t) voidaan määrittää 

impulssivasteen h(t) avulla konvoluutiona seuraavasti: 

yt () = ht () * xt () = h( l)( xt-l) dl 

¥ 

ò 

-¥ 

Konvoluution voi kätevästi visualisoida kiinnittämällä jommankumman 

funktion paikoilleen ja sitten liu’uttamalla toisen funktion tämän ylitse. 

Seuraavassa kuvassa tämä on havainnollistettu tutulle 

suorakaidepulssille (s.5), jolle lasketaan konvoluutio itsensä kanssa. 

Huomaa, että konvoluution arvo tietyllä ajan hetkellä saadaan suoraan 

laskemalla kertolaskun tuottaman funktion pinta-ala (kuvassa oranssi). 

Yksinkertaista lukiomatematiikkaa… 


Tarkastellaan seuraavaksi käytännön esimerkkiä konvoluution 

hyödyntämisestä: käytännöllinen ja yksinkertainen sarjaankytketty RCpiiriä 

(vastus ja kondensaattori):


Piirianalyysin periaatteiden avulla järjestelmän impulssivasteeksi 

saadaan: 

1 

ìï 1 t ³ 0 

-t/ 

RC 

ht () = e ut (), missä ut () = ï 

í 

RC ï 

ïî 

0 t < 0 

Käytetään jälleen kerran hyväksi tuttua suorakaide pulssia (s.5) ja 

syötetään se sisäänmenojännitteeksi tarkasteltavaan piiriin. Ulostulo 

y(t) saadaan nyt määritettyä konvoluution avulla: 

yt () = ht () * xt () 

¥ 

ò 

= h( l) x( t -l) 

dl 

-¥ 

 

(osaatko laskea itse...) 

 

ìï 

ï 0 t < 0 

ï 

-t/ 

RC 

= ï 

í A(1 - e ) 0 < t < t 

ï -t/ RC -( t-t)/ RC 

ïî 

A(1 - e ) e t > t 

Seuraavissa kuvissa on havainnollistettu sisäänmenon ja ulostulon 

suhdetta kolmessa eri tapauksessa. Tässä sisäänmenopulssin kestoa 

muutetaan suhteessa piirin ns. aikavakioon RC. Kuvista nähdään, että 

piiri käyttäytyy pulssin keston τ mukaan aivan kuten ulostulon paloiteltu 

funktio antaa ymmärtää. 


Nyt on selvää, että impulssivasteen avulla voidaan tutkia järjestelmän 

aikakäyttäytymistä. Kun impulssivasteesta otetaankin Fourier-muunnos, 

tuloksena syntyy järjestelmän ns. taajuusvaste, josta nähdään suoraan 

miten järjestelmä vaikuttaa eri sisäänmenon taajuuksiin: 

¥ 

() = () -j2p 

ft 

ò 

-¥ 

H f h t e dt 

Konvoluutioteoreeman avulla saadaan nyt johdettua merkittävä tulos 

sisäänmenon ja ulostulon väliselle yhteydelle myös taajuustasossa. Jos 

merkitään sisäänmenon Fourier-muunnosta X(f) ja taajuusvastetta H(f), 

ulostulon Fourier-muunnos saadaan suoraan kertolaskulla: 

Y() f = 

H() f X() f


Tämän yhtälön vuoksi taajuusvastetta H(f) kutsutaan usein myös 

siirtofunktioksi. Koska kyseessä on yksinkertainen kertolasku, 

sisäänmenon spektri painottuu pisteittäin taajuusvasteen mukaan. 

Esimerkin vuoksi hahmotellaan edellisen RC-piirin taajuusvaste: 

Kuvasta nähdään, että matalat taajuudet säilyvät vähemmän 

vaimennettuina kuin korkeat. Tällaista järjestelmää kutsutaankin 

alipäästösuodattimeksi (jos esim. halutaan nostaa bassotaajuuksien 

voimakkuutta audiolaitteissa, tarvitaan jokin tämänkaltaisen 

taajuusvasteen omaava systeemi). 

Tietoliikennetekniikassa suodattimia käytetään erityisesti kohinan 

vaimentamisessa ja muokkauksessa, tietoliikennekanavan 

mallintamisessa sekä sen vaikutusten kompensoimisessa (ekvalisointi). 

Lisäksi suodattimilla erotellaan (taajuuskaistalla) toisistaan eri 

järjestelmät, käyttäjät, kanavat jne. Periaatteessa siis kaikki edellä 

mainittu saavutetaan juuri integraalilaskennan avulla. 


Sigma-delta(ΣΔ)-analogia-digitaalimuunnin 

Kustannustehokkuus on nykypäivän trendi lähes kaikilla talouden ja 

tekniikan aloilla. Langattomassa tietoliikenteessä kustannustehokkuutta 

saavutetaan erityisesti joustavilla radiolähetin-vastaanotinrakenteilla. 

Tällä tarkoitetaan karkeasti laitteen kykyä toimia erilaisissa 

järjestelmissä ja radiorajapinnoissa. Lisäksi erityisesti kannettavissa 

laitteissa myös virrankulutuksen sekä fyysisen koon minimointi ovat 

tärkeissä rooleissa. Näiden tavoitteiden saavuttamisessa yhdeksi 

merkittäväksi tekijäksi on viime aikoina noussut digitaaliset 

signaalinkäsittelymenetelmät, jotka mahdollistavat erittäin joustavien ja 

kustannustehokkaiden päätelaitteiden toteuttamisen. Käytännön tasolla 

moderneissa päätelaitteissa pyritäänkin usein vähentämään laitteiston 

analogisten komponenttien määrää ja korvaamaan näiden toimintaa 

nimenomaan digitaalisin menetelmin. Yksi merkittävimpiä rajoittavia 

tekijöitä tässä lähestymistavassa on kuitenkin kustannustehokkaan 

analogia-digitaalimuuntimen (AD-muunnin) toteuttaminen. 

111 

110 

101 

100 

011 

010 

001 

000 

1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1 

Sisäänmeno: analoginen jännitesignaali 

Yllä olevassa kuvassa on esitetty 3-bittisen AD-muuntimen 

sisäänmenon ja ulostulon välinen funktio (sisäänmeno normalisoitu 

välille [0,1]). Johtuen rajallisesta näyteresoluutiosta, eli lukujoukosta, 

johon näytteet ”pyöristetään”, AD-muuntimessa syntyy aina ns. 

kvantisointikohinaa. Jos kvantisointikohinan tehon annetaan kasvaa 

liian suureksi, digitaalisista signaalinkäsittelymenetelmistä saatava 

hyöty menetetään. Tällaisessa tapauksessa voidaan ajatella, että


analogisesta signaalista näytteistetty (digitaalinen) lukujono ei enää 

yksikäsitteisesti vastaakaan alkuperäistä signaalia. Tästä syystä ADmuuntimien 

suunnittelussa onkin perinteisesti päädytty jonkinlaiseen 

kompromissiin kustannustehokkaan ja ”laadukkaan” muuntimen välillä. 

Eräs kirjallisuudessa ehdotettu ratkaisu edellä mainittuun ongelmaan on 

sigma-delta(ΣΔ)-analogia-digitaalimuunnin, jonka periaatteellinen 

lohkokaavio on esitetty alla (tässä fs on näitteistystaajuus ja K on vakio). 

Analoginen 

sisäänmeno 

Analoginen 

signaali 

1-bit DAmuunnin 

Näytteistyskello 

K*fs 

Digitaalinen 

suodatin 

Digitaalinen 

signaali 

Digitaalinen 

ulostulo 

ΣΔ-muuntimessa oleellista osaa esittää myötähaaran integraattori, joka 

on tässä nimenomaan osa rakenteen toiminnallisuutta, ei pelkkä 

analysointityökalu. ΣΔ-muuntimen takaisinkytkentähaara on pelkkä 

yksinkertainen 1-bitin digitaali-analogiamuunnin, jonka resoluutio riittää 

ainoastaan ilmaisemaan ylinäytteistetyn signaalin etumerkin. ΣΔmuuntimesta 

saatava hyöty perustuu sisäänmenon ja 

takaisinkytkentähaaran erotussignaalin integrointiin, minkä avulla 

kvantisointikohinan spektriä voidaan muokata toteutuksen kannalta 

edullisempaan suuntaan. 

Ns. näytteistysteoreeman mukaan myös pelkästään ylinäytteistetyllä 

AD-muuntimella saadaan parempia tuloksia. Tämä johtuu siitä, että 

kvantisointikohina jakautuu eri taajuuksille tasaisesti. Tällöin, 

käyttämällä AD-muuntimessa datasignaaliin verrattuna K-kertaista 

näytetaajuutta, voidaan datasignaalin ulkopuolinen kohina poistaa 

jälkeenpäin perinteisellä digitaalisella suodattimella. Ero pelkän 

ylinäytteistetyn AD-muuntimen ja varsinaisen ΣΔ-muuntimen ja välillä 

on se, että kohinateho saadaan ΣΔ-muuntimessa painottumaan 

hyötykaistan ulkopuolelle. Ilmiötä on havainnollistettu alla olevassa 

kuvassa. 

Amplitudispektri 


Yllä olevan kuvan ΣΔ-muunnin on ns. alipäästötyyppiä, jossa 

kohinateho vaimenee siirryttäessä kohti nollataajuutta. ΣΔ-muunnin 

voidaan kuitenkin suunnitella muokkaamaan kohinaspektriä myös 

muilla tavoilla. Tämä on melko suoraviivaista, sillä järjestelmän 

kokonaissiirtofunktio voidaan jakaa erikseen hyötysignaalin ja kohinan 

siirtofunktioihin. Tällä tavoin vaikuttamalla kohinan siirtofunktion 

nollakohtiin, saadaan kohinaspektrin muoto halutunlaiseksi. Esimerkiksi 

yllä olevan kuvan ΣΔ-muuntimen kohinan siirtofunktiolla on nollakohta 

taajuudella f=0.

INTEGROINNIN SOVELLUKSIA TIEDONSIIRTOTEKNIIKASSA ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?