Diskreetti matematiikka ja ekvalisointi

Diskreetin matematiikan excursio: kanava-ekvalisointi tiedonsiirrossa / 1 

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: 

KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA 

Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama 

TTY / Tietoliikennetekniikka 

jukka.talvitie@tut.fi, toni.levanen@tut.fi, mikko.e.valkama@tut.fi 

Tässä oleva esitys pohjautuu mm. ao. kurssien sisältöön: 

TLT-5400 Digitaalinen siirtotekniikka 

TLT-5906 Digitaalisen siirtotekniikan jatkokurssi 

Tarkoituksena on antaa esimerkkejä diskreetin matematiikan 

merkityksestä modernissa tietoliikennetekniikassa keskittyen lähinnä 

kanavakorjaukseen eli ekvalisointiin. 

Taustaa 


Digitaalisen tiedonsiirron perusidea on yksinkertaisesti siirtää joukko 

bittejä (binäärinen lukujono) paikasta toiseen sähköisten tai 

sähkömagneettisten signaalien avulla. Huolimatta siirrettävän 

informaation diskreetistä olomuodosta, itse tiedonsiirtokanavaan 

lähetettävä aaltomuoto on fysikaalisista rajoitteista johtuen jatkuvaaikainen. 

Oikealla tavalla toteutetun näytteenoton avulla jatkuvaaikainen 

aaltomuoto saadaan kuitenkin palautettua diskreetiksi 

lukujonoksi vastaanottimessa ilman merkittäviä häviöitä. 

Ennen digitaalisten tiedonsiirtomenetelmien käyttöönottoa havaittua 

jatkuva-aikaista signaalia käsiteltiin vastaanottimessa yksinomaan 

analogisin komponentein. Tällä tavoin signaalin hallinta vaikeutuu 

olennaisesti, sillä jokainen signaalille tehty prosessointitoimenpide vaatii 

periaatteessa oman erillisen sähköpiirin. Lisäksi analogiset 

sähkökomponentit ovat kalliita ja isokokoisia, minkä vuoksi niiden 

kaupallinen houkuttelevuus varsinkin nykymaailmassa on hyvin heikko. 

Tässä piileekin digitaalisen siirtotekniikan voimavara, sillä 

vastaanotetun jatkuva-aikaisen signaalin näytteistetty versio on vain 

joukko lukuja, joiden hallinta mikropiireillä on hyvin tehokasta. Lukuja 

voidaan helposti esimerkiksi tallentaa muistiin ja palauttaa ne sieltä 

myöhemmin häviöttömästi jatkoprosessointia varten. Juuri tämän vuoksi 

diskreetin matematiikan tuottamat sovellukset ovat erittäin tärkeitä 

tietoliikennetekniikassa. 

Digitaalitekniikka on nykyään käytössä lähes kaikissa 

kuluttajasovelluksissa kuten matkapuhelinverkoissa, yleisradio ja -TV 

lähetyksissä, kotien langattomissa Internet-yhteyksissä, navigaattori- ja 

paikannuspalveluissa sekä yleisesti kodin sisäisessä tiedonsiirrossa. 

Jokaisessa näissä tiedonsiirtokanava aiheuttaa lähetettyyn signaalin 

vääristymää. Kanavaekvalisoinnilla tarkoitetaan tämän vääristymän 

korjaamista ja sitä käytetään jatkossa tämän esityksen esimerkkinä 

diskreetin matematiikan sovelluksesta digitaalisessa tiedonsiirrossa.


Tiedonsiirtojärjestelmän rakenne ja siirtokanavan vaikutus 

Kantataajuisen (nollataajuuden ympäristössä sijaitsevan) digitaalisen 

siirtojärjestelmän periaatteellinen lohkokaavio on esitetty alla olevassa 

kuvassa. 

Ensimmäisessä vaiheessa lähetettävä bittijono muutetaan symboleiksi. 

Tässä joukko peräkkäisiä bittejä muutetaan tietyksi symboliaakkoston 

määräämäksi lukuarvoksi. Alla on esimerkin vuoksi esitetty 4-tasoisen 

reaalisen symboliaakkoston rakenne: 

Esimerkki 4-tasoisesta 

symboliaakkostosta 

Bittiyhdistelmä Symboli 

00 -3 

01 -1 

10 1 

11 3 

Pääasiallinen tarkoitus bittien kuvaamisessa symboleiksi on kasvattaa 

järjestelmän taajuuskaistan käytön tehokkuutta, sillä 

signaalikohinasuhteen ja kanavan vaikutusten lisäksi digitaalisen 

siirtojärjestelmän tiedonsiirtokapasiteettiin vaikuttaa ainoastaan käytetty 

taajuuskaistanleveys. Tämä puolestaan määräytyy siitä, kuinka monta 

symbolia (diskreettiä lukuarvoa) aikayksikköä kohden halutaan siirtää. 


Jos esimerkiksi käytettävää taajuuskaistaa on 100 Hz, niin teoriassa 

100 symbolia voidaan siirtää sekunnissa. Tällöin siirrettäessä bittejä 

”sellaisenaan” (binäärinen symboliaakkosto), saavutettava bittinopeus 

on 100 bittiä/s, kun taas edellä esitetyn 4-tasoisen symboliaakkoston 

avulla saavutetaan samalla kaistalla bittinopeus 200 bittiä/s. Mitä 

suurempi symboliaakkosto on, sitä enemmän bittejä yhtä lähetettyä 

symbolia kohden voidaan siirtää. Toisaalta, olettaen lähetysteho 

kiinnitetyksi, suuremman symboliaakkoston huonona puolena on 

suurempi herkkyys kohinan ja häiriöiden aiheuttamille virheille. 

Diskreetit symbolit muunnetaan jatkuva-aikaiseksi signaaliksi 

lähetinsuodattimen avulla. Tässä valittua (jatkuva-aikaista) 

pulssimuotoa g(t) painotetaan diskreeteillä symbolien arvoilla, jolloin 

lähetettävä signaali on muotoa 

• 

Â 

S() t = A g( t -kT) 

k =-• 

k 

missä T on kahden peräkkäisen symbolin välinen aika. Alla olevassa 

kuvassa on esimerkki käytettäessä pulssimuotona kanttipulssia 

(huomaa kuvassa myös yleiset kriteerit käytettävälle pulssimuodolle): 

Kanttipulssin sijasta käytännöllisempi ratkaisu on käyttää ”pyöreämpiä” 

pulssimuotoja, kuten ns. nostettuja kosinipulsseja. Erityisen olennaista 

on kuitenkin ymmärtää edellä esitettyjen pulssimuotokriteerien merkitys. 

Koska näytehetkellä pulssi saa aina arvon yksi, tietyllä 

symboliajanhetkellä signaalista S(t) otettu näytteen arvo on aina samalla 

ajanhetkellä lähetetyn symbolin Ak arvo. Lisäksi koska pulssin arvo saa 

aina arvon nolla muilla symboliajanhetkillä, eri pulssit/symbolit eivät 

häiritse toisiaan.


Lähetetty jatkuva-aikainen signaali S(t) muokkautuu kanavassa ja 

kohina summautuu vääristyneen aaltomuodon päälle. Tämän jälkeen 

vastaanottosuodatuksessa käytössä olevan taajuuskaistan ulkopuolinen 

kohina suodatetaan pois ja signaalista otetaan näytteitä 

symboliajanjakson T välein. 

Kuten jo mainittiin, näytteistys poimii saapuvasta signaalista vain tietyt 

ajanhetket: kT (k=-…). Toisin sanoen vastaanotettua signaalia 

tarkastellaan vain symboliajanhetkillä, minkä vuoksi edellä kuvatusta 

lohkokaaviosta voidaan kehittää efektiivinen diskreettiaikainen malli: 

Tässä lohkokaaviossa ei enää esiinny jatkuva-aikaisia signaaleita. 

Analyyttisissa tarkasteluissa tämä malli on kuitenkin riittävä, mikäli 

voidaan olettaa, että pulssimuoto toteuttaa edellä mainitut kriteerit ja 

näytteenotto onnistuvat ideaalisesti. Nyt vastaanotettua näytejonoa 

voidaan kuvata diskreetillä tavalla seuraavasti: 

Rk = Ak * pk + Zk 

missä pk on kanavan (näytteistetty) diskreettiaikainen impulssivaste ja Zk 

summautuvaa kohinaa. Merkki * kuvaa konvoluutiota, jonka avulla 

saadaan laskettua lineaaristen järjestelmien input-output-vasteita (kts. 

Sitikka-materiaali ”Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa”). 

Jos kanavan impulssivaste ulottuu useamman symboliaikavälin T 

alueelle, niin kanavassa syntyy symbolien välistä keskinäisvaikutusta: 

ISI (Inter Symbol Interference). Esimerkiksi kanava, jonka diskreetti 

impulssivaste on muotoa pk=-0.4(k+1)+(k)+0.8(k-1) ((t) on 

yksikköimpulssifunktio) voidaan esittää graafisesti seuraavaan tapaan: 


1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

Kanavan impulssivaste p k 

-0.4 

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 

k 

0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Kyseisen kanavan tapauksessa vastaanotettu näytejono voidaan nyt 

kirjoittaa muodossa 

R = A * p + Z = - 0.4A + A + 0.8A 

+ Z 

k k k k k- 1 k k+ 1 k 

Näin ollen jokainen lähetetty symboli nähdään vastaanottimessa 

painotettuna kolmen peräkkäisen symbolin summana. Taajuustasossa 

tämä näkyy spektrin vääristymisenä, jossa eri taajuudet vaimenevat 

toisiinsa nähden eri tavalla. 

Ekvalisaattorin tehtävänä on pienentää tätä kanavassa syntyvää ISI:ä. 

Ongelmana on siis löytää sellainen diskreettiaikainen suodatin (ts. 

suodattimen kertoimet/tapit …,ck-1, ck, ck+1,…), jonka avulla ISI 

minimoituu. Aikatasossa tämä tarkoittaa järjestelmän kokonaisvasteen 

(kanava+ekvalisaattori) pakottamista lähelle yksikköimpulssin vastetta, 

kun taas taajuustasossa järjestelmän tuottama amplitudispektri pyritään 

saamaan mahdollisimman tasaiseksi amplitudiarvon 1 ympäristöön. 

Erilaisia ekvalisointimenetelmiä löytyy kirjallisuudesta useita, joista ns. 

zero-forcing-menetelmä esitellään seuraavilla sivuilla.


Lineaarinen ekvalisointi (zero-forcing-menetelmä) 

Ehkä yksinkertaisin ja intuitiivisin menetelmä ISI:n poistamiseen on ns. 

zero-forcing-ekvalisaattori. Tässä lähtökohtana on etsiä sellainen 

diskreettiaikainen rajatun kestoinen (Finite Impulse Response) 

suodatin, joka pyrkii poistamaan ISI:n kokonaan. Tämän ongelman 

analysointi on huomattavan paljon helpompaa suorittaa taajuustasossa, 

sillä siellä konvoluutio voidaan esittää kertolaskuna. Muuntamalla 

aikatason vasteet z-muunnoksella taajuustason siirtofunktioksi, 

vastaanotetut näytteet voidaan esittää seuraavasti: 

Rz () = PzAz ()() + Nz () 

missä P(z), A(z) ja N(z) ovat kanavan impulssivasteen, symbolijonon ja 

kohinan z-muunnokset. Ekvalisoidut näytteet saadaan tällöin z-tasossa 

ilmaistua 

Qz () = Cz ()( PzAz ()() + Nz ()) 

= CzPzAz () ()() + CzNz () () 

Tästä nähdään suoraan, että mikäli kanavan vaikutus halutaan 

vastaanotetusta signaalista kokonaan poistaa, tulee ekvalisaattorin 

siirtofunktio valita siten, että C(z)P(z)=1. Toisin sanoen ekvalisaattorin 

siirtofunktio on muotoa 

Cz () = 1/ Pz () 

Termi zero-forcing juontaakin juurensa nimenomaan tästä 

lähestymistavasta, jossa ISI ikään kuin ”pakotetaan nollaan”. 

Ekvalisoidut symbolit voidaan nyt esittää muodossa 

Qz () = CzPzAz () ()() + CzNz () () 

1 1 

= PzAz ()() + Nz () 

Pz () Pz () 

Nz () 

= Az () + 

Pz () 


Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkitilannetta, jossa edellä esitettyyn 3tappiseen 

kanavaan lähetetään symbolit 1, -1, 1 ja 1. Alla olevassa 

kuvassa on esitetty lähetetyn sekvenssin aikatason esitykset 

siirtojärjestelmän eri vaiheissa. 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

-1 

Lähetetty sekvenssi 

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

-1 

Vastaanotettu sekvenssi 

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 

k 

2 2.5 3 3.5 4 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

Kanavan impulssivaste p(k) 

-0.4 

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Systeemin kokonaisvaste 

-0.2 

-5 -4 -3 -2 -1 0 

k 

1 2 3 4 5 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

Kanavan ulostulo 

-1 

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 

k 

2 2.5 3 3.5 4 

Ekvalisaattorin vaste 

-0.6 

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 

Kanavan ulostulossa nähdään selvästi, että alkuperäinen sekvenssi on 

voimakkaasti vääristynyt ISI:n vaikutuksesta. Itse asiassa, jos 

päätökset/arvaukset lähetetystä sekvenssistä tehtäisiin tähän signaaliin 

perustuen, symbolien ilmaisussa tapahtuisi luultavimmin virhe, sillä 3. 

lähetetty symboli on lähempänä -1:ä kuin 1:ä. Käytetty ekvalisaattori on 

tässä 9-tappinen eli sen impulssivaste on muotoa c-4, c-3,…c0,…, c3, c4. 

Ekvalisaattorin kertoimet on laskettu zero-forcing-menetelmään 

perustuen siten, että C(z)=1/P(z). Systeemin kokonaisvaste ( pk ck 

* tai 

z-tasossa P(z)C(z)) on kuvan perusteella hyvin lähellä 

yksikköimpulssifunktiota, joten ISI on selvästi pienentynyt. ISI saadaan 

poistettua sitä tarkemmin, mitä enemmän ekvalisaattoriin sisällytetään 

tappeja. Tappien lukumäärä kasvattaa kuitenkin järjestelmän 

laskennallista taakkaa, minkä vuoksi niiden määrää joudutaan aina 

tapauskohtaisesti rajoittamaan. 

Aikatason tarkastelun lisäksi tilannetta voidaan havainnollistaa myös 

taajuustasossa. Taajuustason esitys saadaan ottamalla Fourier-


muunnokset (kts. Sitikka-materiaali ”Integroinnin sovelluksia 

tiedonsiirtotekniikassa”) edellisessä kuvassa esitetyistä aikatason 

vasteista. Alla oleviin kuviin on piirretty kanavan, ekvalisaattorin ja 

järjestelmän kokonaisvasteen amplitudispektrit. 

Amplitudivaste 

Taajuusvasteet kanavalle ja ekvalisaattorille 

1.6 

1.4 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

Kanavan vaste 

Ekvalisaattorin vaste 

0 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 

normalsoitu taajuus 

Amplitudivaste 

1.6 

1.4 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

Systeemin kokonaisvaste 

0 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 

normalsoitu taajuus 

Kuvista havaitaan, että ekvalisaattorin vaste on käänteinen verrattuna 

kanavan vasteeseen. Kanavassa vaimentuneita taajuuksia voimistetaan 

ja päinvastoin, minkä vaikutuksesta kokonaisvaste ”tasoittuu” 

amplitudiarvon 1 ympäristöön. 

Vaikka zero-forcing-menetelmä intuitiivisesti vaikuttaakin erittäin 

järkevältä, siihen liittyy kuitenkin ikävä kohinan voimistumisilmiö. 

Ekvalisaattori voimistaa signaalia niillä taajuuksilla, joissa kanavan 

vaimennus on suuri. Tällöin, itse hyötysignaalin lisäksi, ekvalisaattori 

voimistaa tarpeettomasti myös kohinaa. Tämä nähdään selkeästi jo 

edellä esitetystä kaavasta (ekvalisoidun sekvenssin z-muunnos): 

Nz () 

Qz () = Az () + 

Pz () 

Kyseisen ilmiön vuoksi ISI:n poistoon käytetäänkin usein muunlaisia 

menetelmiä, kuten esimerkiksi MSE-ekvalisaattoria (Minimum Square 

Error), jossa ISI:ä ei aluperin pyritäkään kohinan tehosta riippuen 

poistamaan aivan kokonaan. Eräs toinen mahdollisuus on käyttää ns. 

sekvenssi-ilmaisua, jossa kanavan aiheuttama ISI otetaan huomioon 

itse symbolien ilmaisuprosessissa (esim. Viterbi-algoritmi), jolloin 

varsinainen ekvalisointi ennen ilmaisua jää tarpeettomaksi. 


Tuntemattoman ja/tai muuttuvan kanavan hallinta 

Zero-forcing-menetelmässä ekvalisaattorin kertoimet määritetään 

suoraan kanavan vasteen perusteella. Yleensä kanavan vaste ei ole 

kuitenkaan tunnettu, minkä vuoksi zero-forcing-menetelmän käyttö 

sellaisenaan ei ole mahdollista. Lisäksi esimerkiksi langattomassa 

tiedonsiirrossa kanavan vaste muuttuu jatkuvasti, minkä vuoksi 

ekvalisaattorin tappikertoimia joudutaan jatkuvasti päivittämään. Tähän 

tarkoitukseen adaptiivinen ekvalisointi tarjoaa laskennallisesti tehokkaat 

työkalut. Alla olevassa kuvassa on esitetty lineaarisen adaptiivisen 

ekvalisoinnin periaatteellinen lohkodiagrammi. 

Kohinan summauksen jälkeen vastaanotin havaitsee kanavassa 

vääristyneen symbolisekvenssin Rk. Perusideana adaptiivisessa 

ekvalisoinnissa on minimoida virhe ekvalisoidun sekvenssin Qk ja 

oikean sekvenssin Ak välillä. Käytännössä tämä onnistuu esimerkiksi 

ennalta määrätyn, vastaanottimessa tunnetun, pilottisignaalin avulla. 

Näin ollen tiedetään minkälainen ekvalisoidun sekvenssin Qk tulisi olla 

ja siten ekvalisoinnista aiheutuva virhe voidaan laskea suoraan 

pilottisignaalin ja Qk:n erotuksella. Pilottisignaalin sijasta vastaavana 

referenssisignaalina voidaan käyttää myös ekvalisoidusta signaalista 

tehtyjä symbolipäätöksiä, mikäli voidaan olettaa, että päätökset ovat 

enimmäkseen oikeita (esim. yli 90% todennäköisyydellä). 

Minimoitaessa keskimääräistä (neliö)virhettä päädytään usein melko 

suuriin lineaarisiin yhtälöryhmiin, joiden ratkaisussa tarvittava matriisi-


inverssi saattaa olla laskennallisesti ottaen epäkäytännöllinen. Jos 

edelleen pidetään mielessä, että kanava muuttuu koko ajan, tappeja 

joudutaan jatkuvasti päivittämään ja laskettavien matriisi-inverssien 

määrä aikayksikköä kohden vain kasvaa. Tähän ongelmaan tehokkaan 

ratkaisun antavat erilaiset iteratiiviset laskentamenetelmät, joista LMSalgoritmi 

(Least Mean Squares) on eräs tunnetuimmista. Tässä 

ekvalisaattorin tappeja päivitetään jokaisen ekvalisaattoriin saapuvan 

näytteen perusteella, minkä vuoksi jatkuvat matriisi-inverssit jäävät 

tarpeettomiksi ja laskennallinen taakka kevenee. 

LMS-algoritmi perustuu ns. gradienttialgoritmiin, jossa neliövirhe 

minimoidaan pyrkimällä kohti gradientin nollakohtaa (minimikohta) 

iteratiivisesti. Tämä tapahtuu siirtymällä aina pieni askel kerrallaan kohti 

negatiivisen gradientin suuntaan kunnes nollakohta saavutetaan. 

Alkuperäinen gradientti-algoritmi tarvitsee toimiakseen tiedot 

vastaanotetun signaalin tilastollisista ominaisuuksista: näytteiden 

autokorrelaatiomatriisi ja ristikorrelaatio referenssisymbolin välillä. 

Nämä ovat kuitenkin yleensä tuntemattomia. LMS-algoritmi eroaa 

gradienttialgoritmista juuri tässä mielessä, sillä se arvioi nämä 

tilastolliset ominaisuudet ”hetkellisesti” perustuen suoraan 

vastaanotettuihin näytteisiin. LMS-algoritmin voidaan toiminta voidaan 

lyhyesti esittää seuraavalla iteratiivisella prosessilla: 

* 

k+ 1 = k+ bEkk 

c c r , missä 

T 

k = k -cr 

k k 

E A 

c 

r 

k -L 

0 L 

(laskettu virhe) 

= [ c ,..., c ,..., c ] (ekvalisaattorin tapit ajanhetkellä k) 

= [ R ,..., R ,..., R ] (vastaanotettu sekvenssi) 

k k+ L k k-L Tässä on ns. askelparametri, joka määrittää kuinka suuri askel kohti 

arvioitua negatiivisen gradientin suuntaan otetaan. Jos on liian suuri, 

algoritmi muuttuu epästabiiliksi (”hajoaa käsiin”), ja toisaalta, jos on 

liian pieni, algoritmi ei ehdi konvergoitua pilottisekvenssin aikana. Alla 

olevassa kuvassa on esitetty LMS algoritmin toiminnallinen rakenne 

tarkasteltaessa ekvalisaattorin l:nen tapin [ck]l päivitysprosessia: 


Tutkitaan seuraavaksi tilannetta, jossa käytetään LMS-algoritmia tutun 

3-tappisen kanavan (kts. sivu 5) ekvalisointiin. Määritetään 

vastaanotetun sekvenssin signaali-kohinatehosuhteeksi 20dB ja 

käytetään algoritmissa 9-tappista suodatinta sekä askelpituutta =0.002. 

Alla olevaan kuvaan vasemmalla on havainnollistettu absoluuttisen 

virheen |Ek| käyttäytyminen iteraatioiden edetessä. Kohinasta johtuen 

virheen käyrä ei ole tasainen mutta konvergoituu selkeästi nollan 

ympäristöön. Oikean puoleisessa kuvassa ekvalisaattorin eri tappien 

(siis 9 kpl yhteensä) lukuarvot on esitetty iteraatioiden funktiona. 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

Ekvalisaattorin virhe 

0 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 

iteraationumero 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

Ekvalisaattorin tappikertoimet 

-0.6 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 

iteraationumero 

Jatketaan vielä esimerkkiä ja tarkastellaan ekvalisoituja symboleita Qk iteraatioiden edetessä. Käytetään lähetykseen satunnaisia symboleita, 

jotka valitaan joukosta Ak Œ{ -3, - 1,1,3} . Alla oleviin kuviin on 

havainnollistettu tilannetta ilman ekvalisointia (vasemmalla) ja 

ekvalisoinnin kanssa (oikealla).

Näytearvo 

6 

4 

2 

0 

-2 

-4 

-6 

Ekvalisoimattomat näytteet ajan funktiona 

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 

k 


Näytearvo 

6 

4 

2 

0 

-2 

-4 

-6 

Ekvalisoidut näytteet ajan funktiona 

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 

Vasemmanpuoleisesta kuvasta on selvää, ettei symboli-ilmaisin pysty 

ilman ekvalisointia tuottamaan luotettavia symbolipäätöksiä. 

Oikeanpuoleisessa kuvassa LMS-algoritmin avulla ilmaisimelle tulevat 

näytearvot vaikuttavat jo huomattavasti luotettavimmilta. Alussa on 

havaittavissa algoritmin ns. oppimisjakso, jonka aikana ekvalisaattorin 

tapit konvergoituvat ”oikeisiin” arvoihinsa. Kuten ehkä havaita 

saattaa(?), alkuarvoina ekvalisaattorin kaikille tapeille on tässä annettu 

nolla-arvo. 

Lopuksi on vielä syytä huomauttaa, että vaikka kaikki edellä annetut 

esimerkit pohjautuvatkin reaalilukuihin, samat metodit ovat yhtä lailla 

käytettävissä myös kompleksilukujen tapauksessa. Itse asiassa 

useimmat modernit tiedonsiirtojärjestelmät käyttävät nimenomaan 

kompleksiarvoista symboliaakkostoa. Tämän vuoksi ekvalisaattorin 

toteutuksen täytyy myös olla kompleksinen (kts. sitikka-materiaali 

”Kompleksiluvut ja radiosignaalit”). Käytännössä kompleksiset 

suodattimet voidaan kuitenkin aina toteuttaa käyttämällä kahta 

rinnakkaista reaaliarvoista suodatinta. 

k

Diskreetti matematiikka ja ekvalisointi

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?