Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox 


Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 

Syksy 2006 

Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1


Harjoituksen tavoitteet 

• Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat 

• Pistetodennäköisyysfunktio, tiheysfunktio, kertymäfunktio 

• Odotusarvo, varianssi ja keskihajonta 

• Tilastollisten jakaumien estimointi 



Mittaaminen 

• Tilastollisen tutkimuksen kohdetta kuvaavat numeeriset ja 

kvantitatiiviset tiedot saadaan mittaamalla. 

• Mitta-asteikot: 

- Nominaali- eli laatueroasteikko. Omena vai appelsiini? 

- Ordinaali- eli järjestysasteikko. Monesko? 

- Intervalli- eli välimatka-asteikko. Kuinka suuri ero? 

- Suhdeasteikko. Kuinka monta kertaa enemmän tai 

vähemmän? 

• Kvalitatiivisia ominaisuuksia kuvataan laatueroasteikollisilla 

muuttujilla ja kvantitatiivisia puolestaan välimatka- tai 

suhdeasteikollisilla muuttujilla. 



Käsitteitä 

• Satunnaismuuttuja on satunnaisilmiön tulosvaihtoehtoihin 

liitetty reaaliarvoinen funktio. Satunnaismuuttuja on funktiona 

täysin määrätty, mutta sattuma määrää mikä alkeistapahtumista 

realisoituu ja sitä kautta myös minkä arvon satunnaismuuttuja 

saa. 

• Todennäköisyysjakauma kuvaa otosavaruuden 

todennäköisyysmassan (= 1) jakautumista otosavaruudessa 

määritellyn satunnaismuuttujan arvoalueelle. 

• Tilastollinen malli on satunnaismuuttujan ja sen jakauman 

yhdistelmä. 



Satunnaismuuttujien tyyppejä 

• Diskreetit satunnaismuuttujat 

- Satunnaismuuttuja on diskreetti, jos sen arvoalue on 

diskreetti joukko eli sen arvoalue muodostuu erillisistä 

reaaliakselin pisteistä. 

- Diskreetin muuttujan jakauma määrittelee alkeistapahtumien 

todennäköisyydet. 

• Jatkuvat satunnaismuuttujat 

- Satunnaismuuttuja on jatkuva, jos sen arvoalue on jokin 

reaaliakselin osaväli. 

- Jatkuvan muuttujan jakauma määrittelee muuttujan 

arvoalueeseen kuuluvien reaaliakselin välien 

todennäköisyydet. 



Diskreettejä satunnaismuuttujia 

• Kone tekee tuotetta n kpl päivässä. Satunnaisesti valittu tuote 

on viallinen todennäköisyydellä p. Viallisten tuotteiden 

lukumäärä päivän aikana tehtyjen tuotteiden joukossa on 

satunnaismuuttuja, joka noudattaa binomijakaumaa. 

• Pyydystetään järvestä joukko kaloja, merkitään ne ja päästetään 

takaisin järveen. Pyydystetään myöhemmin uusi joukko kaloja. 

Merkittyjen kalojen määrä uudessa saaliissa on 

satunnaismuuttuja, joka noudattaa hypergeometrista jakaumaa. 

• Palvelujonoon tulee keskimäärin k asiakasta aikayksikköä 

kohden. Jonakin aikavälinä saapuvien asiakkaiden lukumäärä on 

satunnaismuuttuja joka noudattaa Poisson-jakaumaa. 



Pistetodennäköisyysfunktio 1/2 

• Merkitään satunnaismuuttujan ξ arvojen joukkoa kirjaimella T: 

T = {x1, x2, . . .,xn}, jos S on äärellinen 

T = {x1, x2, . . . }, jos S on numeroituvasti ääretön 

• Todennäköisyyttä Pr(ξ = xi) = pi sanotaan 

pistetodennäköisyydeksi. 

• Reaaliarvoinen funktio f määrittelee 

pistetodennäköisyysfunktion ξ:lle, jos 

1. f(xi) = Pr(ξ = xi) ∀ xi ∈ T 

2. f(xi) ≥ 0 ∀ xi ∈ T 

3. 

T f(xi) = 1 

• Pistetodennäköisyysfunktion vakiot eli parametrit määräävät 

pistetodennäköisyysfunktion muodon ts. jakauman muodon. 



Pistetodennäköisyysfunktio 2/2 

• Esim. Binomijakauman pistetodennäköisyysfunktio on muotoa: 

f(x|n, p) = 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

n! 

x!(n − x)! · px (1 − p) (n−x) 

Binomijakauman pistetodennäköisyysfunktio, n=10; p=0.5 

0 

0 2 4 6 8 10 



Jatkuvia satunnaismuuttujia 

• Vapaasti pyörivän onnenpyörä osoittimen kulman muutos 

osoitinta pyöräytettäessä on tasajakautunut eli tasaisesti 

jakautunut jatkuva satunnaismuuttuja. 

• Palvelujonoon tulee keskimäärin k asiakasta aikayksikköä 

kohden. Aika, joka kuluu kunnes seuraava asiakas saapuu jonoon 

on jatkuva satunnaismuuuttuja, joka noudattaa 

eksponenttijakaumaa. 

• Viisivuotiaden tyttöjen pituus on jatkuva satunnaismuuttuja, 

jonka voidaan sanoa noudattavan approksimatiivisesti 

normaalijakaumaa. 



Tiheysfunktio 

• Reaaliarvoinen funktio f määrittelee (todennäköisyys-) 

tiheysfunktion jatkuvalle satunnaismuuttujalle ξ, jos 

1. f(x) on x:n jatkuva funktio 

2. f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R 

3. +∞ 

f(x)dx = 1 

−∞ 

4. Pr(a ≤ ξ ≤ b) = b 

a f(x)dx 

• Tiheysfunktion vakioita sanotaan jakauman parametreiksi ja ne 

määräävät tiheysfunktion muodon ts. jakauman muodon. 



Jatkuvan jakauman todennäköisyydet 

• Edellisten lisäksi on hyvä huomata: 

Pr(ξ = b) = lim 

a→b Pr(a ≤ ξ ≤ b) = lim 

a→b 

b 

a 

f(x)dx = 0 

• Tiheysfunktio voidaan määritellä myös paloittain. Esim. olkoon 

⎧ 

⎨x 

+ b, kun 0 ≤ x ≤ 1 

f(x) = 

⎩0, 

muulloin 

Tällöin 

1 

0 

f(x)dx = 1 



Diskreetti vs. jatkuva 

• Diskreettiä satunnaisfunktiota ξ vastaavan 

pistetodennäköisyysfunktion f arvo pisteessä xi on 

todennäköisyys: 

Näin ollen 

f(xi) = Pr(ξ = xi) 

0 ≤ f(xi) ≤ 1 

• Jatkuvaa satunnaismuuttujaa ξ vastaavan tiheysfunktion f arvo 

pisteessä x ei ole todennäköisyys, joten on mahdollista, että 

f(x) > 1 



Kertymäfunktio 

• Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio 

F(x) = Pr(ξ ≤ x) 

kuvaa todennäköisyysmassan kertymistä argumentin x kasvaessa. 

Pr(ξ > x) = 1 − F(x) 

Pr(a ≤ ξ ≤ b) = F(b) − F(a) 

• Diskreetissä tapauksessa kertymäfunktio saadaan kaavalla 

F(x) = Pr(ξ ≤ x) = 

i|xi≤x 

• Jatkuvassa tapauksessa kertymäfunktio saadaan kaavalla 

F(x) = Pr(ξ ≤ x) = 

x 

−∞ 

pi 

f(x)dx 



Tiheys- ja kertymäfunktio 

>> x = -5:0.1:5; 

>> pdf = normpdf(x); % Normaalijakauman tiheysfunktio 

>> plot(x,pdf) 

>> cdf = normcdf(x); % Normaalijakauman kertymäfunktio 

>> plot(x,cdf) 

0.4 

0.35 

0.3 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

Normaalijakauman tiheysfunktio 

0 

−5 0 5 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

Normaalijakauman kertymäfunktio 

0 

−5 0 5 



Frekvenssit ja havaintoarvojen jakauma 

• Diskreetti muuttuja: Havaittujen arvojen jakaumaa kuvataan 

frekvessijakaumalla ja sitä vastaavalla graafisella esityksellä, joka 

on pylväsdiagrammi. 

• Jatkuva muuttuja: Havaittujen arvojen jakaumaa kuvataan 

luokitellulla frekvessijakaumalla ja sitä vastaavalla graafisella 

esityksellä, joka on histogrammi. 

• Histogrammissa pinta-ala vastaa frekvenssiä ja 

pylväsdiagrammissa korkeus. 



Pylväsdiagrammi 

Frekvenssi eli havaintojen lukumäärä 

250 

200 

150 

100 

50 

Pylväsdiagrammi binomijakaumasta generoiduista satunnaisluvuista 

0 

0 2 4 6 8 10 

Satunnaismuuttujan arvo 



Histogrammi 

>> % Generoidaan 1000 satunnaislukua normaalijakaumasta 

>> y=normrnd(0,1,1000,1); 

>> % Muodostetaan histogrammi 

>> hist(y) 

Frekvenssi eli havaintojen lukumäärä 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

Histogrammi normaalijakaumasta generoiduista satunnaisluvuista 

0 

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 

Satunnaismuuttujan arvo 



Tunnuslukuja suhdeasteikolliselle aineistolle 1/2 

• Aritmeettinen keskiarvo: 

• Otosvarianssi: 

s 2 = 1 

n − 1 

n 

i=1 

• Otoskeskihajonta: s = √ s 2 

¯x = 1 

n 

n 

i=1 

xi 

(xi − ¯x) 2 = 1 

n − 1 

n 

i=1 

x 2 i − n¯x 2 

 



Tunnuslukuja suhdeasteikolliselle aineistolle 2/2 

• Standardoitujen havaintoarvojen 

zi = xi − ¯x 

sx 

, i = 1, 2, . . ., n 

aritmeettinen keskiarvo ja otosvarianssi ovat 

¯z = 1 

n 

n 

i=1 

zi = 0 s 2 z = 1 

n − 1 

n 

(zi − ¯z) 2 = 1 

Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 19 

i=1


Odotusarvo 

• Satunnaismuuttujan X odotusarvo on jakauman painopiste. 

Samalla se on piste, jonka ympärillä satunnaismuuttujan arvot 

vaihtelevat koetoistosta toiseen. 

• Diskreetille jakaumalle odotusarvo määritellään seuraavasti: 

E(X) = µX = 

xipi = 

xif(xi) 

i 

• Vastaavasti jatkuvalle jakaumalle odotusarvo määritellään näin: 

E(X) = µX = 

+∞ 

−∞ 

i 

xf(x)dx 



Varianssi ja keskihajonta 

• Satunnaismuuttujan X varianssi on satunnaismuuttujan 

odotusarvosta lasketun poikkeaman neliön odotusarvo. Ts. 

varianssi kuvaa vaihtelun neliötä. 

• Diskreetin satunnaismuuttujan varianssi: 

D 2 (X) = Var(X) = σ 2 X = 

(xi − µx) 2 pi = 

(xi − µx) 2 f(xi) 

• Jatkuvan satunnaismuuttujan varianssi: 

D 2 (X) = Var(X) = σ 2 X = 

i 

+∞ 

−∞ 

i 

(x − µx) 2 f(x)dx 

• Standardipoikkeama eli keskihajonta saadaan varianssin 

neliöjuurena: 

D(X) = D 2 (X) = Var(X) 



Estimointi 

• Tilastollisen tutkimuksen tärkeimpiä osatehtäviä on estimoida eli 

arvioida tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot 

generoineen prosessin mallina käytettävän 

todennäköisyysjakauman tuntemattomat parametrit ilmiötä 

koskevien havaintojen perusteella. 

• Havaintojen funktiota, joka tuottaa estimaatteja parametrin 

todelliselle arvolle, kutsutaan parametrin estimaattoriksi. 

• Piste-estimointi: Todennäköisyysjakauman parametrin arvon 

estimointi. 

• Väliestimointi: Parametrin estimaattiin liittyvän luottamusvälin 

määrääminen. 



Kysymyksiä 

1. Mitä asteikkoa (nominaali/ordinaali/intervalli/suhde) käyttäisit 

lämpötilan kuvaamiseen? Entä ajan? 

2. Jos pankkiin tulee asiakkaita eksponentiaalijakautuneesti, mitä 

jakaumaa tietyllä aikavälillä tulevien asiakkaiden määrä 

noudattaa? 

3. Mitä eroa on diskreetillä ja jatkuvalla satunnaismuuttujalla? 

4. Laske eksponentiaalijakauman (f(x) = λe −λx , λ > 0) 

kertymäfunktio. 

5. Miten histogrammi muodostetaan? 

6. Mitä on piste-estimointi?

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?