Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

oli tarkoitus esittää aritmetiikka ja siis matematiikka kaikkiaankin logiikan jatkeena. Juuri, kun
teoksen toinen osa oli menossa painoon Frege sai Russellilta kirjeen, joka sisälsi tiedon Fregen järjestelmän
tyhjäksi tekevästä paradoksista. Kirjassa on surullinen loppuhuomautus siitä, että koko
rakenelmalta on viety pohja pois. Frege ei toipunut tästä iskusta.
Italialainen Giuseppe Peano (1858–1932) loi oman ohjelmansa, jonka tavoite oli koko matematiikan
esittäminen yhtenäisen loogisen kalkyylin avulla. Peanon aksioomat, jotkamäärittelevät luonnolliset
luvut, ovat osa tätä ohjelmaa. Peano julkaisi aksioomansa 1889. Peanon aksioomien mukaan
luonnollisten lukujen joukon N karakterisoi luku 1, injektiivinen seuraajarelaatio s : N → N, jolle
pätee s(k) = 1 kaikilla k ∈ N ja induktioaksiooma muodossa, joka kertoo, että joukkoS⊂N, jolle 1 ∈ S ja s(S) ⊂ S, onsamakuinN. [Ohimennen voi tästä havaita,mikäonPeanonja
matematiikan kanta yleisemminkin ”pedagogiseen kiistakysymykseen” siitä, onko 0 luonnollinen
luku vai ei.] – Peano antoi merkittävän panoksen myös matemaattiseen analyysiin mm. differentiaaliyhtälön
ratkaisun olemassaoloa koskevilla tutkimuksillaan ja avaruuden täyttävää käyrää
koskevalla esimerkillään. Vuonna 1903 Peano esitti keksimänsä keinotekoisen kielen latino sine
flexione (taivutusmuodoton latina), ja uhrasi sen jälkeen enää vainvähän tarmoa matematiikalle.
14.3 Cantor ja joukko-oppi
Äärettömän ongelma oli monella tavoin askarruttanut antiikin sofisteja ja keskiajan skolastikkoja.
Galileo Galilei oli ohimennen havainnut äärettömän joukon tunnusomaisen piirteen: hän
huomautti, että neliöluvut voidaan asettaa yksikäsitteiseen vastaavuuteen luonnollisten lukujen
kanssa, vaikka edelliset selvästi muodostavat vain pienen osan jälkimmäisistä. Gauss ja Cauchy
pitivät tällaisten paradoksien olemassaoloa osoituksena siitä, että todellisen äärettömyys ei ole
mahdollinen. Sen sijaan Bolzano, joka mm. osoitti yksinkertaisen geometrisen konstruktion avulla,
että välillä (0, 1) on ”yhtä monta”pistettä kuinvälillä (0, 2), esitti kuolemansa jälkeen julkaistussa
Paradoxen des Unendliches -teoksessaan, että tämä äärettömän joukon ominaisuus on hyväksyttävä.
Dedekind sitten teki joukon ja sen osajoukon yhtämahtavuudesta äärettömän joukon
määrittelevän ominaisuuden.
Huomattavasti Dedekindiä pitemmälle äärettömän luokittelussa pääsi Georg Cantor. Alkusysäyksen
asiaa koskeville pohdinnoilleen Cantor sai Fourier-sarjojen yksikäsitteisyyden yhteydessä esiin
tulevista ongelmista, jotka koskevat laajahkossa joukossa epäjatkuvien funktioiden kehitelmiä.
Joukkoja käsittelevien Cantorin kirjoitusten sarja alkaa vuonna 1874. Se sisältäääärettömien joukkojen
hierarkkisen luokittelun ja äärettömien kardinaali- ja ordinaalilukujen aritmetiikan. Cantorin
tekemistä huomioista olennaisin oli, että äärettömien joukkojen mahtavuuden ei tarvitse olla
sama, toisin kuin esim. Bolzano oli ajatellut. Tähän liittyy luonnollisesti kysymys konkreettisten
joukkojen mahtavuudesta eli kardinaliteetista. Cantor osoitti, että rationaaliluvut voidaan asettaa
jonoon
1
1
, 2
1
, 1
2
, 1
3
, 2
2
, 3
1
, 4
1
3
, , ...,
2
joten rationaalililukujen joukon mahtavuus on sama kuin luonnollisten lukujen. Cantor osoitti edelleen,
että algebrallistenkin lukujen joukon mahtavuus on sama kuin luonnollisten lukujen. Tämä
perustuu siihen, että kokonaislukukertoimiselle polynomille voidaan määritellä korkeus, jokaon
polynomin asteluvun ja sen kertoimien itseisarvojen summa. Kutakin korkeutta kohden on väin
äärellinen määrä algebrallisia lukuja, jotka saadaan kyseistä korkeutta olevien äärellisen monen
polynomin nollakohdista, joita kullakin polynomilla on vähemmän kuin polynomin korkeus. Joukkoja,
joiden mahtavuus on korkeintaan sama kuin luonnollisten lukujen joukon, Cantor rupesi
kutsumaan numeroituviksi, sen mahtavuudelle hänoti käyttöön merkinnän ℵ0, alef-nolla, heprean
aakkosten ensimmäisen kirjaimen mukaan.
91