Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

Epäkommutatiivisen algebran keksijöitä on myös saksalainen Hermann Grassmann (1809–77),
jonka vuonna 1844 julkaistu vaikeatajuinen Ausdehnungslehre sisälsi eriulotteisia vektoreita käsittävän
algebrallisen struktuurin. Grassmannin ideoista yksinkertaistui ennen muuta englantilaisen
sähkömagnetismin teorian luojan James Clerk Maxwellin (1831–79) ja amerikkalaisen fyysikon Josiah
Williard Gibbsin (1839–1903) käsissä tuttu kolmiulotteisen avaruuden vektorialgebra kaksine
vektorien välisine tuloineen, joista toinen ei ole vaihdannainen. Gibbsin Vector Analysis julkaistiin
v. 1901. Vektorit voittivat konkrettisempina kvaterniot fysiikan apuvälineinä.
Kvaterniot inspiroivat lukuisia lukujärjestelmän laajennuksia. Weierstrass osoitti 1861, että yleisin
lukujärjestelmä, jolla on kaikki reaali- ja kompleksilukujen hyvät ominaisuudet, on kompleksilukujen
järjestelmä.
13.4 Matriisit
Myös matriisialgebran synty ajoittuu 1800-luvun puoliväliin. Matriisien ei-kommutatiivisen kertolaskun
ja yleensä konventionmerkitä m × n:n luvun suorakaiteen muotoon järjestettyä joukkoa
yhdellä kirjaimella keksi 1858 Arthur Cayley tarkastellessaan kahden lineaarisen transformaation
(x, y) ↦→ (ax + by, cx + dy) ja (u, v) ↦→ (Au + Bv, Cu + Dv)
yhdistämistä. Sen, että yhdistäminen johtaa transformaatioon (x, y) ↦→ ((Aa + Bc)x +(Ab +
Bd)y, (Ca + Dc)x +(Cb + Dd)y) oli kirjannut jo Gauss. Determinanttien teoria oli syntynyt jo
aikaisemmin matriiseista riippumatta. Determinantin merkitseminen kahden pystyviivan avulla,
a11
a21
a12
a22
a13
a23
,
on Cayleyn keksintö.
a31 a32 a33
Cayleyn ja hänen maanmiehensä James Sylvesterin (1814–97) tutkimuksen pääkohteena olivat ns.
muodot eli kahden tai useamman muuttujan tasa-asteiset polynomit ja niiden invariantit eli sellaiset
kerrointen funktiot, jotka säilyvät muuttumatta, kun suoritetaan tiettyjä muuttujanvaihtoja.
(Esim. muodon ax 2 +2bxy + cy 2 yksi invariantti koordinaatiston kierron suhteen on diskriminantti
b 2 − ac.) Sylvesteriltä onperäisin metodi muodon muuntamiseksi pääakselimuotoon, jonka erikoistapaus
on analyyttisesta geometriasta tuttu toisen asteen käyrän tai pinnan yhtälön saattaminen
kanoniseen normaalimuotoon. – Sylvester toimi Cayleyn tapaan paitsi matemaatikon myös juristin
tehtävissä. Hän opetti kahteen otteeseen Yhdysvalloissa Baltimoren Johns Hopkins -yliopistossa
ja on ensimmäisiä korkeamman matematiikan edustajia Amerikassa. Sana matriisi on Sylvesterin
käyttöön ottama. (Etymologia on ’kohtu’ (vrt. mater, ’äiti’). Kielikuva lienee tullut matematiikkaan
kirjapainon ladelman kehikon kautta.) Sylvester otti myös käyttöön mm. termit invariantti,
diskriminantti ja Jacobin determinanmtti.
Invarianttiteoria oli 1800-luvun jälkipuoliskolla merkittävä tutkimuskohde. Erilaisten yksittäisten
polynomityyppien invarianttien etsimisen rinnalle kohosi kysymys täydellisten invarianttisysteemien
olemassaolosta. Tällä tarkoitettiin tietyn muuttujamäärän ja asteen määräämää invarianttijoukkoa,
jonka avulla kaikki invariantit olisvat ilmaistavissa. Hilbert ratkaisi kysymyksen 1888
esittämällä invarianttien tasoa yleisemmän lauseen, jonka seurauksena täydellisten invarianttisysteemien
olemassaolo tuli ilmeiseksi. Hilbertin tulos teki suuren osan invarianttiongelmista turhiksi,
ja tämän matematiikan alan tutkimus hiipui.
88