Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

13 Algebran kehitysvaiheita
1800-luvulle asti algebran tutkimuskohteeksi ymmärrettiin polynomiyhtälöiden P (x) =0ratkaiseminen
ja ratkaisujen ominaisuuksien tutkiminen. Nykyisen algebran standardioppimäärän käsitteistö
oli 1700-luvulla melkein kokonaan tuntematon.
13.1 Polynomiyhtälön algebrallinen ratkaisu
Ferron, Tartaglian, Cardanon ja Ferrarin tulokset 1500-luvulla jättivät avoimeksi kysymyksen astetta
n ≥ 5 olevien polynomiyhtälöiden ratkeavuudesta. Ehrenfried Walter von Tschirnhausen
(1651–1708) osoitti, että sopivin muuttujanvaihdoin yleinen viidennen asteen yhtälö oli saatettavissa
muotoon x5 + ax + b =0.
Syvällisesti algebrallisen yhtälön ratkeavuutta selvitteli Lagrange. Hänen perusoivalluksensa oli
tarkastella funktioita, jotka säilyivät invariantteina joissakin yhtälön juurien permutaatioissa tai
saivat usealla eri permutaatiolla saman arvon. Jos esimerkiksi x1, x2 ja x3 ovat kolmannen asteen
yhtälön P (x) = 0 ratkaisut ja ω = − 1
√
3
+ i on yhtälön z3 = 1 kompleksijuuri, niin
2
(x1 + ωx2 + ω 2 x3) 3 saa juurien eri permutaatioilla vain kaksi eri arvoa. Tämä kytkeytyy siihen,
että kolmannen asteen yhtälön resolventtiyhtälö on toista astetta. Lagrangen havainnot johtivat
yhtenäiseen proseduuriin annetun yhtälön resolventtiyhtälöiden löytämiseksi. Lagrangen työtä
täydensi Ruffini, joka osoitti, että Lagrangen menetelmät eivät voi tuottaa alemmanasteisia resolventtiyhtälöitä,
kun alkuperäisen yhtälön asteluku on ainakin 5. Tästähän veti sen johtopäätöksen,
että viidennen asteen yhtälö ei yleensäkään ole algebrallisesti ratkeava.
Huomattavan panoksen algebrallisten yhtälöiden teorialle antoi Gauss. Kirjassaan Disquisitiones
arithmeticæ hän osoitti, että ns. syklotominen yhtälö xp − 1 = 0, missä p on alkuluku, voidaan
purkaa jonoksi alemmanasteisia algebrallisia ja algebrallisesti ratkeavia yhtälöitä, ja näiden yhtälöiden
asteluvut ovat luvun p − 1tekijöitä. Täten on olemassa korkeankinasteisia algebrallisesti
ratkaistavissa olevia polynomiyhtälöitä.
Abel yritti jo koululaisena sovittaa Gaussin esittämää ratkaisumenetelmää yleiseen viidennen asteen
yhtälöön. Hän uskoi ensin onnistuneensa, mutta huomasi sitten virheensä. Abelin todistus
viidennen asteen yhtälön algebralliselle ratkeamattomuudelle perustui havaintoon, jonka mukaan
yhtälö oli algebrallisesti ratkaistavissa, vain jos jokainen ratkaisuissa esiintyvä juurilauseke oli yhtälön
juurien ja tiettyjen ykkösenjuurien rationaalilauseke.
Lopullisen muodon algebrallisen yhtälön algebrallisen ratkeavuuden teorialle antoi Evariste Galois
(1811–32). Galois osoitti v. 1831, että algebrallisen yhtälön juuret ovat lausuttavissa yhtälön
kertoimista ja niiden juurista muodostettuina rationaalisina lausekkeina täsmälleen silloin, kun
yhtälön juurien permutaatioryhmän tietyllä aliryhmällä, Galois’n ryhmällä, on sittemmin ratkeavuudeksi
nimitetty ominaisuus. – Galois on matematiikan historian romanttisia hahmoja: hän
reputti kahdesti École Polytechniquen pääsykokeissa, hänet erotettiin École Normalesta, hän oli
mielipiteiltään radikaali ja istui siksi vankilassa, ja hän kuoli – ehtimättä edes 21 vuoden ikään –
haavoihin, jotka oli saanut epämääräisen naisen vuoksi syntyneessä kaksintaistelussa. Aikalaiset
eivät juuri ymmärtäneet hänen töitään, joista osa joutui käsittämättömästi kadoksiin aikakauskirjojen
toimituksissa ja julkaistiin vasta vuosikymmen hänen kuolemansa jälkeen. Kertomus, jonka
mukaan Galois olisi kirjoittanut päätutkimuksensa kaksintaistelua edeltäneenä yönä, on kuitenkin
ilmeisesti tekaistu.
13.2 Algebran vapautuminen
Samoin kuin geometria 1800-luvulla lakkasi olemasta sidoksissa Eukleideen postulaatteihin tai ha-
2
86