Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

metrisen kirjan 26-sivuisena liitteenä nimellä Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens
(Lobatˇsevski julkaisi oman teoriansa 1829 Kasanissa venäjäksi ja 1840 Berliinissä saksaksi). Gauss
kieltäytyi jälleen kommentoimasta: ”Jos kehuisin tätä työtä, kehuisin itseäni, koska olen ajatellut
samoin jo monen vuoden ajan.” Tämä Gaussin tunnustus ja samanaikainen prioriteetin kiisto samoin
kuin saksankielisen version ilmestyminen Lobatˇsevskin työstä masensivatJános Bolyain niin,
että hän ei myöhemmin enää julkaissut varteenotettavia matemaattisia töitä.
Gaussin, Lobatˇsevskin ja Bolyain geometrian perusajatus on, että etäisyydellä a suorasta AB
olevan pisteen kautta kulkee seka suoria, jotka leikkaavat AB:n että suoria,jotkaeivät leikkaa.
Jos D on suoralla AB ja CD⊥AB, niin C:n kautta kulkevat suorat, jotka ovat CD:hen nähden
vähintään kulmassa α(a), eivät leikkaa AB:tä eliovatAB:n suuntaisia. Kulma α(a) määräytyy
yhtälöstä
tan α(a)
2 = e−a .
Epäeuklidisen geometrian todellisen merkityksen oivalsi vasta Riemann, jonka kuuluisa, Gaussin
antamaan aiheeseen pohjautuva dosentinväitöskirja Ueber die Hypothesesen, welche der Geometrie
zu Grunde liegen (1854). Riemann tarkasteli geometrioita, joissa suorat eivät välttämättä ole
äärettömiä, ja joissa oletus, jonka mukaan suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta ei voi piirtää
ollenkaan suoran kanssa yhdensuuntaista suoraa. Riemannin työ sisälsi kauaskantoisen ohjelman:
geometrian tutkimuskohde ei ole avaruuden pisteiden, suorien ja tasojen joukko, vaan yleiset nulotteiset
monistot, joiden ominaisuudet määräytyvät monistolla määritellystä metriikasta, joka
voi muuttua siirryttäessä pisteestä toiseen. Etäisyyden määrittää differentiaalinen kaava
ds 2 = gijdxidxj,
Missä gij = gji ovat sellaisia funktioita, että ds2 > 0. Riemannin avaruuskäsitys on mm. yleisen
suhteellisuusteorian perustana. Riemann esitti yksinkertaisen mallin geometriasta, jossa kaikki
suorat leikkaavat: pallo ja isoympyrät. Myöhemmin italialainen Eugenio Beltrami (1835–1900)
löysi samanlaisen mallin Lobatˇsevskin ja Bolyain geometrialle; kyseessä olipseudopallo-niminen
pyörähdyspinta.
Epäeuklidisen geometrian voi katsoa vapauttaneen geometrian. Tuli mahdolliseksi rakentaa erilaisiin
aksioomajärjestelmiin nojautuvia geometrioita, ja kysymys siitä, minkälainen geometria
vallitsee reaalimaailmassa, siirtyi fysiikan puolelle.
12.4 Euklidisen geometrian perusteet
Paralleeliaksiooma ei ole ainoa Eukleideen aksioomajärjestelmän kritiikkiä saanut osa. Eukleides
oli ajatellut konkreettista, havaintoon perustuvaa maailmaa, mutta aikaa myöten esiin rupesi tulemaan
ajatus, jonka mukaan geometrian peruskäsitteet kuten piste ja suora tosin olivat havointoon
perustuvien asioiden idealisointeja, mutta että ne kuitenkin aksioomissa olivat määrittelemättömiä
olioita, ja että teorian kehittely ei missään kohdin saanut nojautua siihen havaintokäsitykseen,
joka näistä asioista meillä itse kullakin on. Erityisesti ”välissä olemisen”käsite oli Eukleideella
epämääräinen, samoin kuvioden yhtenevyys, jonka määrittelyä pidettiin kehämäisenä.
Merkittävän uuden geometrian aksiomatisoinnin esitti saksalainen Max Pasch (1843–1930). Pasch
esitti 1882 projektiivisen geometrian aksioomajärjestelmän, mutta sen ajatukset sopivat myös
euklidiseen ja epäeuklidiseen geometriaan. Paschille piste, suora, taso ja janojen yhtenevyys olivat
määrittelemättömiä peruskäsitteitä, ja aksiomat esitettiin ne näitä peruskäsitteitä koskevat
väittämät, joita oli mahdollista käyttää teoreemojen todistuksissa. Projektiivisen geometrian aksioomista
esitettiin Paschin jälkeen useita vaihtoehtoisia versioita.
84