Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

More documents

Recommendations

Info

järjestyksen vaihdossa. Nykyanalyysin ”epsilonistiikka” on varsinaisesti Weierstrassin koulukunnan vakiinnuttamaa. Luennoidessaan 1861 Berliinin Teknillisessä korkeakoulussa Weierstrass esitti jatkuvuuden määritelmän seuraavasti: jos on mahdollista määrittää h:lle sellainen raja δ, että kaikille h:n arvoille, joiden itseisarvo on pienempi kuin δ, f(x + h) − f(x) on pienempi kuin mielivaltainen suure ɛ, joka voi olla miten pieni tahansa, niin argumentin äärettömän pieniä muutoksia vastaavat funktionarvojen äärettömän pienet muutokset. Myös kompleksifunktioiden teoriaan Weierstrass jätti pysyvän jäljen. Analyyttisten funktioiden teorian lähtökohdaksi Weierstrass määritteli potenssisarjat; funktioteorian keskeiseksi työkaluksi muodostui analyyttinen jatkaminen: potenssisarjakehitelmän pätevyysaluetta laajennetaan ottamalla käyttöön uusi kehityskeskus ja alkuperäisen suppenemisympyrän ulkopuolelle ulottuva uusi suppenemisympyrä. Analyyttisen jatkamisen kautta jokainen potenssisarja tulee määrittelemään mahdollisimman laajassa alueessa yleensä monikäsitteisen analyyttisen konfiguraation. – Funktioteorian perusteisiin Weierstrass johtui elliptisten ja Abelin funktioiden tutkimuksista, joita hän harjoitti opettajantyönsä ohessa ja joista ensimmäiset julkaistiin koulujen vuosikertomuksissa. 11.5 Irrationaalilukujen luokat ja reaalilukujen täsmällinen määrittely Reaalilukujen jakautuminen rationaalisiin ja irrationaalisiin oli periaatteessa tunnettua jo pythagoralaisten ajoista. Euler arveli jo 1740-luvulla, että tietyt luvut saattaisivat olla transkendettisia, ts. eivät olisi algebrallisia eli kokonaiskertoimisten polynomien nollakohtia. Konkreettisen esimerkin transkendenttiluvusta esitti vuonna 1844 ranskalainen Joseph Liouville (1809–82). Liouvillen mukaan transkendettisia ovat kaikki luvut, jotka ovat muotoa k1 k2 k3 + + + ···, 10 102! 103! missä ki:t ovat 1:n ja 9:n välillä olevia kokonaislukuja. Todistus perustuu siihen, että algebrallista lukua ei voi aivan tarkkaan approksimoida rationaaliluvuilla, joiden nimittäjät ovat ylhäältä rajoitettuja. Sittemmin on keksitty vähemmän eksoottisia transkendenttilukuesimerkkejä kuten 0,1001000100001 .... Vuonna 1873 ranskalainen Charles Hermite (1822–1901) onnistui osoittamaan, että Neperin luku e on transkendenttinen; π:n suhteen saman asian todisti kymmenen vuotta myöhemmin saksalainen Ferdinand Lindemann (1852–1939). Lindemannin todistus osoitti lopullisesti, että antiikista asti matemaatikkoja työllistänyt ympyrän neliöintiongelma ei ratkea euklidisin työvälinein. Monien mielenkiintoisten lukujen algebrallisuus tai transkendenttisuus on edelleen avoin: yksi tällainen luku on Eulerin vakio γ. Monien matemaattisen analyysin loogisten vaikeuksien keskeinen syy oli itse luvun käsitteen epämääräisyys. Irrationaaliluku voitiin käsittää rationaalilukujen jonon raja-arvoksi, mutta toisaalta raja-arvon määritelmä jo edellytti, että raja-arvokandidaatti oli olemassa ja siis määritelty. Cauchy ja Bolzano olivat pyrkineet määrittelemään jonon suppenemisen pelkästään sen termien avulla (Cauchyn kriteeri), ja Bolzano oli lisäksi pyrkinyt määrittelemään reaaliluvut rationaalilukujonojen avulla, mutta vasta vuonna 1872 tällainen määrittely onnistui tyydyttävällä tavalla. Määritelmän esittivät toisistaan riippumatta ranskalainen Charles Méray (1835–1911), joka oli jo aikaisemmin kiinnittänyt huomiota mainittuun ristiriitaisuuteen, sekä Weierstrass oppilaansa Eduard Heinen (1821–81) ja tämän yhteistyökumppanin Georg Cantorin (1845–1918) kanssa. Lukujonomääritelmässä lähtökohtana ovat rationaalilukujen perusjonot eli Cauchyn jonot; tällainen jono määrittelee reaaliluvun. Reaalilukujen järjestysominaisuudet ja laskutoimitukset palautetaan jonojen termien vastaaviin ominaisuuksiin. Olennaista on, että näin määritellyistä reaaliluvuista muodostetut Cauchyn jonot aina suppenevat kohti jotain reaalilukua. Reaalilukujen joukko on täydellinen, laajennuksia ei tarvita. 79
Lukujonoihin perustuvan reaaliluvun määrittelyn rinnalle syntyi samana vuonna, 1872, suoremmin reaaliluvun geometriseen mielikuvaan ja Eudoksoksen klassiseen suhdeoppiin kytkeytyvä Richard Dedekindin (1831–1916) määritelmä. Sen mukaan reaaliluvun määrittelee jokainen Dedekindin leikkaus, rationaalilukujen joukon jako kahdeksi yhteisalkiottomaksi osajoukoksi A ja B, missä jokainen joukon A luku on jokaista joukon B lukua pienempi. Leikkaukset, joissa A:ssa on suurin tai B:ssä pienin luku, vastaavat rationaalilukuja. Reaalilukujen joukon leikkaukset osoittautuvat itsekin reaaliluvuiksi. 80
Page 1 and 2:
Matti Lehtinen: Matematiikan histor
Page 3 and 4:
15 Todennäköisyyslaskenta: ajanvi
Page 5 and 6:
enemmän aiheenmukainen käsittelyt
Page 7 and 8:
Edwards, C. H., Jr.:TheHistorical D
Page 9 and 10:
tematiikasta; länsimaisen matemati
Page 11 and 12:
Kreikkalainen historioitsija Herodo
Page 13 and 14:
Jo noin 4000 vuotta vanhat babyloni
Page 15 and 16:
4 Antiikin Kreikan matematiikkaa Ma
Page 17 and 18:
sanotaan tulleen käyttöön opetus
Page 19 and 20:
Pythagoraan on arveltu päätyneen
Page 21 and 22:
voidaan osoittaa, että ympyränkak
Page 23 and 24:
Zenonin paradoksit osoittavat, ett
Page 25 and 26:
3. On mahdollista piirtää ympyrä
Page 27 and 28:
Paraabelin alan laskemista ekshaust
Page 29 and 30:
Aikalaiset ja jälkeen tulleet arvo
Page 31 and 32: 5 Matematiikkaa keskiajalla Antiiki
Page 33 and 34: Erityisen ansiokkaita intialaiset o
Page 35 and 36: algebralla ymmärrettiin matematiik
Page 37 and 38: x 3 +2x 2 − 5x − 10 = 0. Havait
Page 39 and 40: kolmannen asteen yhtälöille likia
Page 41 and 42: 6 Renessanssi Renessanssin (”uude
Page 43 and 44: julkaisi Ars Magnassa. - Cardano ei
Page 45 and 46: hän hyväksyi vain positiiviset ju
Page 47 and 48: Logaritmitaulukkojensa luvut Napier
Page 49 and 50: Hyvä viinivuosi 1612 inspiroi Kepl
Page 51 and 52: 7.3 Descartes, Fermat ja analyyttin
Page 53 and 54: perusteella. Potenssisumman n k p k
Page 55 and 56: 7.5 Tangenttikonstruktioita Matemaa
Page 57 and 58: Barrow esitti tämän asian, joka o
Page 59 and 60: Newtonin differentiaalilaskennan pe
Page 61 and 62: hallintotehtävät, ensin Mainzin a
Page 63 and 64: Osittain juuri tällaisista syistä
Page 65 and 66: Johann Bernoulli oli Leibnizin aggr
Page 67 and 68: lausekkeeksi, milloin koordinaatist
Page 69 and 70: jos x = y√1 − c4 ± c 1 − y4
Page 71 and 72: tunnetaan, f:n derivaatat voidaan i
Page 73 and 74: ollut kaikin puolin loogisesti moit
Page 75 and 76: empiiristen havaintojen perusteella
Page 77 and 78: avaruuden geometrista rakennetta my
Page 79 and 80: Cauchy on Eulerin jälkeen kaikkien
Page 81: pintaa. Tästä oivalluksesta alkun
Page 85 and 86: jellyimmissä muodoissaan synteetti
Page 87 and 88: metrisen kirjan 26-sivuisena liitte
Page 89 and 90: 13 Algebran kehitysvaiheita 1800-lu
Page 91 and 92: Epäkommutatiivisen algebran keksij
Page 93 and 94: 14 Matemaattinen logiikka ja joukko
Page 95 and 96: Toisaalta Cantor osoitti, että rea
Page 97 and 98: todennäköisyys on noin 2 2t2 −
Page 99 and 100: matematiikan piirissä hänen kest
Page 101 and 102: kansanedustaja ja toimi 1920-luvull
Page 103 and 104: Turun akatemia siirtyi Turun palon
Page 105 and 106: kehittynyt mm. automaatien teorian
Page 107 and 108: 18 Laskulaitteista ja tietokoneista
Page 109 and 110: 18.3 Matematiikka ja tietokoneet Jo
Page 111 and 112: poliittisiin ristiriitoihin 1930-lu
show all

Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?