Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja
Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja
Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Esimerkkinä Eulerin päättelystä tarkastellaan vielä eksponenttifunktion perusominaisuuksien johtoa.<br />
Jos ɛ on ”äärettömän pieni luku”, niin aɛ =1+kɛ, missä k on a:sta riippuva vakio. Jos nyt<br />
x on äärellinen luku, niin N = x<br />
on ”äärettömän suuri luku”. Silloin<br />
ɛ<br />
=1+N<br />
a x = a Nɛ =(1+kɛ) N =<br />
<br />
kx<br />
+<br />
N<br />
N(N − 1)<br />
2!<br />
=1+kx + 1<br />
2!<br />
Koska N on äärettömän suuri, on<br />
N(N − 1)<br />
N 2 k 2 x 2 + 1<br />
3!<br />
N − 1<br />
N<br />
<br />
1+ kx<br />
N N<br />
2 kx<br />
+<br />
N<br />
N(N − 1)(N − 2)<br />
3!<br />
= N − 2<br />
N<br />
3 kx<br />
+ ···<br />
N<br />
N(N − 1)(N − 2)<br />
N 3 k 3 x 3 + ...<br />
= ... =1,<br />
joten<br />
a x =1+ kx<br />
1! + k2x2 2! + k3x3 + ...<br />
3!<br />
Kun tässä asetetaan x = 1, saadaan<br />
a =1+k + k2<br />
2!<br />
+ k3<br />
3!<br />
+ ...<br />
Merkitään nyt e:llä arvoak = 1 vastaavaa a:ta. Silloin<br />
e =1+ 1 1<br />
+ + ...<br />
2! 3!<br />
Aikaisemman nojalla on edelleen ex <br />
= 1+ x<br />
N .<br />
N<br />
Euler operoi kompleksiluvuilla vapaasti. Eulerin kaava<br />
e ix =cosx + i sin x<br />
(jonka keksijänä voineepitää deMoivrea)olihänelle keskeinen käsite mm. logaritmifunktion ominaisuuksien<br />
selvittelyssä: Euler selvitti matemaatikkoja pitkään askarruttaneen kysymyksen negatiivisten<br />
lukujen logaritmeista ja totesi logaritmifunktion monikäsitteisyyden. Euler on usean<br />
muuttujan analyysin pioneereja. Kaksinkertaisen integraalin muuttujanvaihtokaava ja integraalin<br />
palauttaminen yksiulotteisiksi integroinneiksi on hänen esittämänsä.<br />
Euler alkoi elliptisten integraalien tutkimuksen, jonka merkitys matematiikan myöhemmissä vaiheissa<br />
osoittautui suureksi. Elliptisiin integraaleihin, integraaleihin, joiden integroitavassa esiintyy<br />
ainakin kolmatta astetta olevan polynomin neliöjuuria, johtavia ongelmia olivat esittäneet jo ennen<br />
vuotta 1700 mm. Bernoullit. Tällaisia olivat elastisen sauvan muoto, heilurin heilahdusaika,<br />
lemniskaatta-käyrän (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 − y 2 ) kaaren pituus ja ennen muuta tähtitieteessä mielenkiintoinen<br />
ellipsin kaaren pituus. Viimeksi mainittua oli selvitellyt italialainen kreivi Carlo<br />
de’Toschi Fagnano (1682–1766), mutta Euler kehitti ensimmäisen merkittävän elliptisten inte-<br />
graalien yhteenlaskukaavan:<br />
x<br />
0<br />
dt<br />
√<br />
1 − t4 =<br />
y<br />
0<br />
dt<br />
√<br />
1 − t4 +<br />
c<br />
0<br />
dt<br />
√ 1 − t 4 ,<br />
65
Change language