Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

Osittain juuri tällaisista syistä infinitesimaalilaskennan kehitys lähti liikkeelle Leibnizin osoittamaan
suuntaan. Newtonia seurattiin vain Englannissa, jossa kehitys oli selvästi hitaampaa kuin
mannermaalla, ilmeisesti ainakin osittain Newtonin merkintöjen pienemmän suggestiivisuuden
vuoksi. – Toinen syy Englannin matematiikan taantumiseen oli onneton prioriteettikiista, jota
käytiin vuodesta 1699 alkaen: syytös oli, että Leibniz olisi kopioinut Newtonin ideat; englantilaiset
kieltäytyivät isänmaallisista syistä hyväksymästä Leibnizin merkintöjä ja analyysia. Itse asiassa
Newton ja Leiniz olivat käyneet vuosina 1676 ja -77 lyhyen kirjeenvaihdon differentiaalilaskennan
perusteista, jotka molemmilla jo tuolloin oli hallussa, eikä ole syytä uskoa kummankaan kopioineen
toiselta.
9 Analyysin nopea kehitys 1700-luvulla
Infinitesimaalilaskennan keksiminen sysäsi matemaattisen analyysin erittäin nopeaan kehitykseen.
Uusia laskennallisia, ”algebrallisia” menetelmiä käytettiin osin kritiikittömästi ja teorioiden loogisiin
perusteisiin ehdittiin kiinnittää niukasti huomiota. Tekniseltä kannalta differentiaali- ja
integraalilaskenta saavutti 1700-luvulla monin osin nykyisen tason. Toisaalta 1700-luku ei tuonut
matematiikkaan siinä määrin vallankumouksellista uutta kuin edellinen vuosisata.
9.1 Bernoullin veljekset
Alankomaista 1500-luvun lopulla Sveitsin Baseliin siirtynyt Bernoullin suku on matematiikan historian
merkittävimpiä. Siihen kuuluu tusinan verran ensi luokan tiedemiehiä. Suvun matemaatikoista
kuuluisimmat ovat veljekset Jakob (1654–1705) ja Johann (1667–1748) Bernoulli. (Erikielisissä
lähteissä etunimet kirjoitetaan myös esim. Jacques ja Jean tai James ja John.) Bernoullin
veljekset olivat Leibnizin oppilaita, työtovereita ja myös kilpailijoita. He vaikuttivat merkittävästi
siihen, että differentiaali- ja integraalilaskenta levisi juuri Leibnizin luomassa muodossa.
Jakob Bernoulli esitti Bernoullin epäyhtälön 1+nx < (1 + x) n , todisti harmonisen sarjan hajaantuvaksi
(Oresmen aikaisempi todistus oli unohdettu) ja tutki erilaisia käyriä differentiaali- ja
integraalilaskentaa ja differentiaaliyhtälöitä käyttäen. Sana integraali on Jakob Bernoullin vuonna
1690 käyttöön ottama. Leibniz, joka oli käyttänyt integraalilaskennasta nimitystä calculus summatorius,
omaksuimyöhemmin myös integraali-sanan. Bernoulleilta ovat lähtöisin useat tavanomaiset
integrointitekniikat. Esim. integraalin
a 2 dx
a 2 − x 2
laskemiseksi Jakob Bernoulli keksi käyttää muuttujanvaihtoa
x = a b2 − t2 b2 ,
+ t2 kun taas Johann huomasi tehokkaamman osamurtohajotelman
a2 a2
a 1 1
= + .
− b2 2 a + x a − x
Leibniz ja Bernoullit tutkivat paljon ns. brakistokroniongelmaa. Tarkoitus oli löytää käyrä, jota
pitkin painovoiman vaikutuksen alaisena liikkuva kappale siirtyisi nopeimmin pisteestä A pisteeseen
B, joka ei ole suoraan A:n alapuolella. Jakob Bernoullin onnistui ensimmäisenä osoittaa,
että kyseinen kaari on sykloidin kaari. Brakistokroniongelmasta katsotaan saaneen alkunsa variaatiolaskennan,
matematiikan haaran, joka etsii ääriarvotehtäviin vastaukseksi funktioita eikä vain
60