Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

More documents

Recommendations

Info

johtivat laskennallisempia menetelmiä tangentinmäärityksessä esiintyvien kaksoisjuurten määrittämiseksi. Hudden menetelmä oli seuraavanlainen. Olkoon F (x) = n akx k . k=0 Muodostetaan uusi polynomi G kertomalla F :n kertoimet aritmeettisen jonon a, a + b, a +2b, ..., a + nb luvuilla. Siis G(x) = Silloin F :n kaksoisjuuri e on G:n juuri: jos ja jos Ak = a + kb, niin n−2 = k=0 ck F (x) =(x− e) 2 n−2 n−2 G(x) = k=0 n ak(a + kb)x k . k=0 ckx k n−2 = k=0 k=0 ck(x k+2 − 2ex k+1 + e 2 x k ), ck(Ak+2x k+2 − 2eAk+1x k+1 + e 2 Akx k ) (Ak +2b)x 2 − 2e(Ak + b)x + e 2 n−2 k Ak x = ck k=0 Ak(x − e) 2 +2bx(x − e) x k . Jos a =0jab = 1, niin G(x) =xF ′ (x); Hudden sääntö tuleemäärittäneeksi polynomin derivaatan puhtaasti algebrallisen manipulaation tuloksena. Erotusosamäärän raja-arvon idea tulee sen sijaan selvästi esiin Newtonin Cambridgen opettajan Isaac Barrow’n (1630–77) 1660-luvulla pitämissä luennoissa, joissa tangentti tulkitaan kahden lähekkäin olevan käyrän pisteen kautta kulkevan suoran raja-asennoksi, kun pisteet ovat lähellä toisiaan. Tämä raja-asento voitiin laskea jättämällä korkeamman kertaluvun infinitesimaalit pois. Barrow oli ensimmäinen, joka todisti, että sellaisen käyrän C∞, joka esittää toisenkäyrän C2, xakselin ja y-akselin suuntaisten suorien rajoittaman alueen pinta-alaa, tangentti saadaan suoraan käyrän C2 avulla. Merkitään kuvion alaa itseisarvomerkein. Jos C2 = ZGE on käyrä, jonka pisteet etääntyvät akselista VPD ja jos C1 = VIF on käyrä, jonka jokaisen pisteen F etäisyys akselista FD, toteuttaa ehdon FD · R = |ZEDV |, missä R on kiinteänpituinen jana, ja jos T valitaan akselilta niin, että DE R = DF DT ,jajosIon V :n ja Z:n välissä olevaC1:n piste, ILVD, IPGFDE ja KFT:n ja IL:n leikkauspiste, niin LF DF DE = = . Mutta LK · DE = R · LF = |GEDP | < LK DT R PD· DE, jotenLK < P D = IL. FT kulkee käyrän C1 alapuolella. Samoin nähdään, että FT:n jatkekin kulkee C1:n alapuolella, joten FT on käyrän C∞ tangentti. 53
Barrow esitti tämän asian, joka on olennaisesti sama kuin differentiaali- ja integraalilaskennan peruslause, pelkästään geometrisena totuutena. Asiaan sisältyvää funktioiden relaatiota hän ei käsitellyt, joten hänen tulostaan ei varsinaisesti voi pitää integraalilaskennan peruslauseena. Tangentinmäärityksiä tehtiin myös mekaanisin perustein. Näin toimi mm. Roberval: jos käyrän ajatellaan syntyvän massapisteen liikkuessa, on pisteen hetkellisen nopeuden suunta tangentin suunta. Jos käyrä voidaan tulkita kahden eri liikkeen yhdistelmäksi (kuten sykloidi, jossa yhdistyvät translaatio ja rotaatio, kumpikin vakionopeuksisena), tangentti määritetään nopeuksien yhteenlaskun periaatteella. Kun paraabeli tulkitaan sellaisen pisteen liikkeenä, jonka etäisyys polttopisteestä ja johtosuorasta on sama, voidaan paraabelin tangentin suunta saada polttopisteestä pois suuntautuvan ja johtosuoraa vastaan kohtisuorassa olevien yhtä pitkien vektorien summana. Tästä nähdään heti, että paraabelin tangentti puolittaa polttosäteen ja johtosuoraa vastaan piirretyn kohtisuoran välisen kulman. 54
Page 1 and 2:
Matti Lehtinen: Matematiikan histor
Page 3 and 4:
15 Todennäköisyyslaskenta: ajanvi
Page 5 and 6: enemmän aiheenmukainen käsittelyt
Page 7 and 8: Edwards, C. H., Jr.:TheHistorical D
Page 9 and 10: tematiikasta; länsimaisen matemati
Page 11 and 12: Kreikkalainen historioitsija Herodo
Page 13 and 14: Jo noin 4000 vuotta vanhat babyloni
Page 15 and 16: 4 Antiikin Kreikan matematiikkaa Ma
Page 17 and 18: sanotaan tulleen käyttöön opetus
Page 19 and 20: Pythagoraan on arveltu päätyneen
Page 21 and 22: voidaan osoittaa, että ympyränkak
Page 23 and 24: Zenonin paradoksit osoittavat, ett
Page 25 and 26: 3. On mahdollista piirtää ympyrä
Page 27 and 28: Paraabelin alan laskemista ekshaust
Page 29 and 30: Aikalaiset ja jälkeen tulleet arvo
Page 31 and 32: 5 Matematiikkaa keskiajalla Antiiki
Page 33 and 34: Erityisen ansiokkaita intialaiset o
Page 35 and 36: algebralla ymmärrettiin matematiik
Page 37 and 38: x 3 +2x 2 − 5x − 10 = 0. Havait
Page 39 and 40: kolmannen asteen yhtälöille likia
Page 41 and 42: 6 Renessanssi Renessanssin (”uude
Page 43 and 44: julkaisi Ars Magnassa. - Cardano ei
Page 45 and 46: hän hyväksyi vain positiiviset ju
Page 47 and 48: Logaritmitaulukkojensa luvut Napier
Page 49 and 50: Hyvä viinivuosi 1612 inspiroi Kepl
Page 51 and 52: 7.3 Descartes, Fermat ja analyyttin
Page 53 and 54: perusteella. Potenssisumman n k p k
Page 55: 7.5 Tangenttikonstruktioita Matemaa
Page 59 and 60: Newtonin differentiaalilaskennan pe
Page 61 and 62: hallintotehtävät, ensin Mainzin a
Page 63 and 64: Osittain juuri tällaisista syistä
Page 65 and 66: Johann Bernoulli oli Leibnizin aggr
Page 67 and 68: lausekkeeksi, milloin koordinaatist
Page 69 and 70: jos x = y√1 − c4 ± c 1 − y4
Page 71 and 72: tunnetaan, f:n derivaatat voidaan i
Page 73 and 74: ollut kaikin puolin loogisesti moit
Page 75 and 76: empiiristen havaintojen perusteella
Page 77 and 78: avaruuden geometrista rakennetta my
Page 79 and 80: Cauchy on Eulerin jälkeen kaikkien
Page 81 and 82: pintaa. Tästä oivalluksesta alkun
Page 83 and 84: Lukujonoihin perustuvan reaaliluvun
Page 85 and 86: jellyimmissä muodoissaan synteetti
Page 87 and 88: metrisen kirjan 26-sivuisena liitte
Page 89 and 90: 13 Algebran kehitysvaiheita 1800-lu
Page 91 and 92: Epäkommutatiivisen algebran keksij
Page 93 and 94: 14 Matemaattinen logiikka ja joukko
Page 95 and 96: Toisaalta Cantor osoitti, että rea
Page 97 and 98: todennäköisyys on noin 2 2t2 −
Page 99 and 100: matematiikan piirissä hänen kest
Page 101 and 102: kansanedustaja ja toimi 1920-luvull
Page 103 and 104: Turun akatemia siirtyi Turun palon
Page 105 and 106: kehittynyt mm. automaatien teorian
Page 107 and 108:
18 Laskulaitteista ja tietokoneista
Page 109 and 110:
18.3 Matematiikka ja tietokoneet Jo
Page 111 and 112:
poliittisiin ristiriitoihin 1930-lu
show all

Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?